阅读与思考 海伦和秦九韶教学设计(第二课时)

《正余弦定理应用举例》教学设计

一、教材分析

本节课是学习了正弦定理、余弦定理及三角形中的几何计算之后的一节实际应用课，可以说是为正弦定理、余弦定理的应用而设计的，因此本节课的学习具有理论联系实际的重要作用。在本节课的教学中，用方程的思想作支撑，以具体问题具体分析作指导，引领学生认识问题、分析问题并最终解决问题。

二、教学目标设置

根据本节课的教学内容以及学生的认知水平，确定了本节课的教学目标

：

知识与技能：①能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解测量的方法和意义

②会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法，搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题和基本图形和基本等量关系，

过程与方法：①采用启发与尝试的方法，让学生在解决实际问题中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。

②通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力；通过解三角形在实际中的应用，要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用

情感、态度、价值观：①激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值

②培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力

③进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力

三、学生学情分析

本节课的教学对象是营口开发区第一高级中学高二年级的学生．

1.已有的能力：学生已经学习了正弦定理和余弦定理，能够运用解决一些三角形问题，具有了一定的基础。

2.存在的问题：学生在运用正弦定理和余弦定理解三角形的时候不能将实际问题转化成数学问题的问题，构造模型的能力有待提高。

难点：

1．实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解

2. 根据题意建立数学模型，画出示意图

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突破策略：

（1）在探索概念阶段, 让学生和老师共同参与完成例1．让学生体会实际问题建立数学模型，解答数学模型，再得到实际问题解的过程。

（2）在应用概念阶段,通过对解答过程的分析，帮助学生掌握在实际问题中找寻可解三角形的实际过程。

（3）教师启发引导，组织学生交流研讨，展现思维过程．

五、教学过程设计

【教学过程】

一、创设情境，明确目标

请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。

【学生活动】感受生活中的数学，体会了生活中测量距离的现实需要．

【教师活动】通过实例，引导学生体会生活中的数学无处不在，数学对生活的影响无处不在．数学方法是解决实际问题的一大途径。实际问题推动数学发展，数学发展推动科学技术发展。

【设计意图】通过引言，让学生体会解三角形在生活中的广泛应用，激发学生对于本堂课内容的浓厚兴趣．

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二、实际问题，建立数学模型

例1、如图所示，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=51，ACB=75。求A、B两点的距离(精确到0.1m) 启发提问1：ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？

启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。

分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。

解：根据正弦定理，得

AB=AC

sinACBsinABCAB=ACsinACB=55sinACB=sinABCsinABC55sin75

sin(1805175)=55sin75≈ 65.7(m)

sin54答:A、B两点间的距离为65.7米

【学生活动】：思考并提出解决这个实际问题的方法。

【教师活动】：在和学生讨论建立数学模型的方法上着重强调可行性。让学生充分展示自己的见解，营造一个探讨和辩论的氛围，激发学生的创造力。

【设计意图】：“数学源于生活，生活依靠数学，而数学建模问题贴近生活，充满趣味性；使学生更深切地感受到数学与实际的联系，感受到数学问题的广泛，使学生对于学习数学的重要性理解得更为深刻”。并从中体会数学建模的思想。

例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。

分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。

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解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得BCA=，



ACD=，CDB=，BDA =，在ADC和BDC中，应用正弦定理得

AC =

BC =

asin()

=

asin()

sin[180()]sin()asinasin

=

sin[180()]sin()计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离

AB =

AC2BC22ACBCcos

【学生活动】：小组讨论并提出解决这个实际问题的方法。

【教师活动】：让学生充分展示自己的见解，并归纳总结学生的解题方法。

【设计意图】：引导学生寻求在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。并强化学生的数学建模意识。

互动探究学习活动：

探究载客游轮能否触礁

播放意大利豪华游轮触礁新闻创设一个实际问题的情景。

一轮船在海上由西向东航行，测得某岛M在A处的北偏东角，前进4km后，测得该岛在角，已知该岛周围3.5km范围内有暗礁，现该船继续东行。

（1）

若260，问该船有无触礁危险？如果没有请说明理由；

（2）

如果有，那么该船自B处向东航行多远会有触角危险

(1)如下图，作MC⊥AB，垂足为C，

0

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由已知α＝60°，β＝30°，∴∠ABM＝120°，∠AMB＝30°，

∴BM＝AB＝4，∠MBC＝60°，

∴MC＝BM·sin 60°＝2∴该船有触礁的危险．

（2）设该船自B向东航行至点D有触礁危险，连接MD，

则MD＝3.5，BM＝4，BC＝2，MC＝2在△MDC中，CD＝∴BD＝1.5 (km)．

∴该船自B向东航行1.5 km会有触礁危险．

【学生活动】：小组讨论我们如何考虑是否会触礁？如何建立数学模型解释这个问题。让学生建模求解并鼓励用不同方法去求解这个问题。

【教师活动】：让学生充分展示自己的见解。鼓励学生用不同方法去求解。

【设计意图】：重在学生培养“翻译”能力学会分析关系、领悟实质。弄清问题所述的事件和研究对象；抓住题目中的关键字句，正确把握其含义；根据题意，弄清题中各有关量的数量关系；抓住问题中的主要问题，正确识别其类型。培养学生将实际问题抽象为数学问题，

从实际问题关系中找出最关键的数量关系，将此关系用有关的量及数字、符号表示出来，体会建模的过程。

预留课后思考题

（3）当与满足什么条件时，该船没有触角危险

，

<3.5，

＝0.5，

设CM＝x，在△MAB中，＝，

即＝，BM＝，

而x＝BM·sin∠MBC＝BM·cos β＝，

∴当x>3.5，>，即>时，该船没有触礁危险．

设计意图：该问题有一定难度留为课下自主合作探究讨论的问题，让课上到课下得到延伸。同事培养学生自主学习合作交流的能力

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课堂小节：（采用提问形式，学生阐述，老师适当补充）

1、解斜三角形应用题的一般步骤：

2、利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。

3、解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：

①已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之；

②已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。

作业：课后小题123，以及合作探究第三问

课后反思：这堂课由实际问题出发，引导学生探索研究三角形中边角关系，展示了一个完整的数学探究过程。提出问题、发现规律、推到证明，定理应用，让学生经历了知识再发现的过程，促进了个性化学习。在教学过程中，使学生体会认识事物由特殊到一般，再由一般到特殊的规律，体会分类讨论、数形结合的数学思想方法，并提高运用所学知识解决实际问题的能力。通过学习和运用，进一步使学生体会数学的科学价值、应用价值，进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化素养。

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《1.2应用举例》教学设计反思

一．反思设计意图

本节课是学习了正弦定理、余弦定理及三角形中的几何计算之后的一节实际应用课，可以说是为正弦定理、余弦定理的应用而设计的，因此本节课的学习具有理论联系实际的重要作用。并根据本节课的教学内容以及学生的认知水平，确定了本节课的教学目标

本节课的教学对象是云南师范大学实验中学高二年级的学生．学生已经学习了正弦定理和余弦定理，能够运用解决一些三角形问题，具有了一定的基础。

但学生在运用正弦定理和余弦定理解三角形的时候不能将实际问题转化成数学问题的问题，构造模型的能力有待提高。我认为本堂课学生难点在于：实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解并且能根据题意建立数学模型，画出示意图。

二．反思设计思路

第一阶段：情境引入

本节课我以课本引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”作为课题的引入。让学生体会学生体会生活中的数学无处不在，数学对生活的影响无处不在．数学方法是解决实际问题的一大途径。实际问题推动数学发展，数学发展推动科学技术发展。让学生体会解三角形在生活中的广泛应用，激发学生对于本堂课的浓厚兴趣。

第二阶段：实际问题，建立数学模型

引入课题后，向学生介绍例1（一点可到达距离测量问题）引导学生将实际问题抽象概括出示意图，并建立数学模型，再经过数学模型的解来解答实际问题。“数学源于生活，生活依靠数学，而数学建模问题贴近生活，充满趣味性；使学生更深切地感受到数学与实际的联系，感受到数学问题的广泛，使学生对于学习数学的重要性理解得更为深刻”。在讨论问题时把重点放在解决此问题的可行性上，学生在初中学习了解直角三角形，相似三角形等方法都可测量举例但应用我们高中正余弦定理在于可行性很强。

第三阶段：深化第二例

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例2是在例题一基础上建立的另一类测量距离的问题。在例题一得到顺利解决的前提下引入例题2这时学生跃跃欲试。在例题二教学中依然不给学生做出图形，培养学生敢于画图，爱作图的能力。教学中鼓励学生积极开展讨论和辩论，主动探索解决之法。教学过程中努力去创造一个环境去诱导学生的学习欲望、培养他们的自学能力，增强他们的数学素养和创新能力，强调的是获取新知识的能力，是解决问题的过程。

第四阶段：生活情景再创设，让学生在实际生活情境中探究解决实际问题

对于第四阶段的探究我抛弃了以前常用的变式教学，单纯给学生一个题目去解出答案，在课堂上我播放一段意大利豪华游轮触礁搁浅的新闻视屏，并和学生一起感叹当今社会如此发达竟还会有触礁这样的惨剧发生，并打开问题假如我们现在在海面上行驶我们的船在海上由西向东航行，测得某岛M在A处的北偏东角，前进4km后，测得该岛在角，已知该岛周围3.5km范围内有暗礁，我们拿出草稿纸开始计算？这样的设问去让学生自己感受自己这时应该去计算什么？是否有触礁的危险我们应该去计算什么？一连串的追问？还是努力在营造一个让学生激起学习和讨论的欲望。

让学生保持

“好奇心”，开通自己的“问题源”，培养养学生用数学知识去观察、分析、提出和解决问题的能力，展示学生多方面的数学思维能力，并体会数学在生产生活中的强大作用。培养其创新意识，让学生体会发现问题、探究问题、解决问题的快乐。重在学生培养“翻译”能力学会分析关系、领悟实质。弄清问题所述的事件和研究对象；抓住题目中的关键字句，正确把握其含义；根据题意，弄清题中各有关量的数量关系；抓住问题中的主要问题，正确识别其类型。培养学生将实际问题抽象为数学问题，

从实际问题关系中找出最关键的数量关系，将此关系用有关的量及数字、符号表示出来，

体会建模的过程。

第五阶段：小结

小结部分归纳总结本节课所学知识，归纳总结在测量问题中分析实际问题-----建立数学模型----求解模型----检验实际问题的思想方法。

第六阶段：布置作业

作业布置在触礁问题中我预留了一个难度较大的问题留作课后的合作探究问题。目的是培养学生在课后的合作探究，并让班级充满对困难合作探究和讨论的氛围。

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