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数列求和的基本方法和技巧

一、分组法求和

1、已知an3n12n，求前n项和Sn.

12、已知ann，求前n项和Sn. 2n

二、裂项法求和

（1）an1111111()

（2）ann(nk)knnkn(n1)nn1,123,,1nn1,的前n项和. 1、求数列

112

1

2、在数列{an}中，an 12n2，又bn，求数列{bn}的前n项的和. n1n1n1anan1

3、求和1111. 12123123n

4、已知在等差数列{an}中，a35,S416。

（1）求{an}的通项公式；

（2）记bn1，求{bn}的前n项和。

anan1

2

三、错位相减法求和

1、已知annn3，求前n项和Sn.

2、求数列22,42,62n223,,2n,前n项的和.

3、已知an(2n1)3n，求前n项和Sn.

3

四、倒序相加法求和

1、求sin1sin2sin3sin88sin89的值

22222

五、利用常用求和公式求和

1、已知log3x

2、设Sn123n,nN,求f(n)

3、求1111111111之和. n个1*123n，求xxxx的前n项和. log23Sn的最大值. (n32)Sn1

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数列大题专题训练

1、设{an}是公比为正数的等比数列，a12,a3a24. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{anbn}的前n项和Sn.

2、设等差数列an满足a35，a109。

（Ⅰ）求an的通项公式； （Ⅱ）求an的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值。

3、已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3。

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值。

5

4、成等差数列的三个正数的和为15，且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列bn中的b、b、b。

(I) 求数列bn的通项公式；

(II) 数列bn的前n项和为S

5、等比数列an的各项均为正数，且2a13a21,a329a2a6.

（Ⅰ)求数列an的通项公式；

，求证：数列Snn54是等比数列。

1（Ⅱ）设

bnlog3a1log3a2......log3an,求数列的前n项和. bn

6、设等比数列an的前n项和为Sn,已知a26,6a1a330,求an和Sn。

6

7、已知等比数列{an}的公比q3，前3项和S3

(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式；

13．

3 (Ⅱ) 若函数f(x)Asin(2x)(A0,0)在x6处取得最大值，且最大值为a3，求函数f(x)的解析式．

8、已知等差数列{an}满足a20，a6a810。

（I）求数列{an}的通项公式；

a （II）求数列nn的前n项和．

12

7

参考答案

1、解：(Ⅰ)设

等比数列的公比为q,q0，由已知得2q22q4，即

，所以数列q2或q1（舍去）(Ⅱ)Sn2n1n22。

2、解：（Ⅰ）由ana1(n1)d及a35，a109得a19,d2；

所以数列an的通项公式为an112n

（Ⅱ）Sn10nn2(n5)225，所以n5时Sn取得最大值。

3、解：（Ⅰ）由a1＝1，a3＝－3得d2，所以an＝3－2n；

（Ⅱ）Skkk(k1)35，解得k＝7。

4、解：(I)设成等差数列的三个正数分别为ad,a,ad；则adaad15a5；

数列bn中的b、b、b依次为7d,10,18d，则(7d)(18d)100；

得d2或d13（舍），于是b35,b410bn52n3

的通项公式为an2n；

(II) 数列bn5n15552n2n24的前n项和Sn52，即Sn522

n254452Sn4Sn15是公比为2的等比数列。

42因此数列Sn2325、解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由a3所以q9a2a6得a39a41。

9由条件可知a>0,故q1。

31。

3由2a13a21得2a13a2q1，所以a1故数列{an}的通项式为an=1。

3nn)n(n1)

2（Ⅱ

）bnlog3a1log3a2...log3an=(12故12112()

bnn(n1)nn1111111112n...2((1)()...())

b1b2bn223nn1n1

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所以数列{2n1

}的前n项和为n1bn6、解：设等比数列an的公比为q，由题

a1q6,a13,a12,或解得

2q2,q3.6a1a1q30,所以

如果a13,则an=a1qn1a1(1qn)32n3

32.Sn=1qn1如果a12,则an=a1qn1a1(1qn)3n1

23.Sn=1qn1131得a1，所以an3n2；

33(Ⅱ)由(Ⅰ)得a33，因为函数f(x)最大值为3，所以A3，

7、解：(Ⅰ)由q3,S3又当x6时函数f(x)取得最大值，所以sin(3)1，因为0，故6，

所以函数f(x)的解析式为f(x)3sin(2x6)。

a1d0,8、解：（I）设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得

2a12d10,1解得a11,故数列{an}的通项公式为an2n. ………………5分

d1. （II）设数列{ana2}的前n项和为SSa，即nn1n122an,故S11，

n12anan1ann

2n12Sna1a2224111(24所以Sn

anSna2a1n1a.所以，当时，1222n12n12n)1(1)

n1nn1n2222n2.综上，数列{n1ann}的前n项和S. ………………12分

nn1n122

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