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一元二次不等式及其解法 教学设计

胡

焕

明

【教学目标】

1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；

2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；

3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。

【教学重点】

从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。

【教学难点】

理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。

【教学过程】

一、

课题导入

1、在初中，我们解过一元一次不等式，如解不等式x – 1 > 0，现在请同学们先画出函数y = x – 1 的图象，并通过观察图象回答以下问题: 1）x 为何值时， y = 0; 2）x 为何值时， y > 0;

1

3）x 为何值时， y < 0; 2、从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：

学校要在长为8,宽为6 的一块长方形地面上进行绿化,计划四周种花卉,花卉带的宽度相同,中间种植草坪(图中阴影部分)为了美观,现要求草坪的种植面积超过总面积的一半,此时花卉带的宽度的取值范围是什么? 教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模型：

x27x60二、讲授新课

1、一元二次不等式的定义

…………………………(1) 27x60只含有一个未知数，并且未知数的最高次数象这样，x 是2的不等式，称为一元二次不等式

27x60的解集

2、探究一元二次不等式x 怎样求不等式（1）的解集呢？

探究：

（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系

x11,x26容易知道：二次方程的有两个实数根： ,x26二次函数有两个零点：x 11于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。

（2）观察图象，获得解集

画出二次函数yx25x的图象，观察函数图象，可知：

x7x6；当 x<1，或x>6时，函数图象位于x轴上方，此时，y>0,即

0

2 2

x7x60；当1

x7x60不等式的解集是﹛x|x<1或x>6﹜，从而解决所以， 了本节开始时提出的问题。

(3)探究一般的一元二次不等式的解法

任意的一元二次不等式，总可以化为以下形式： 22ax2bxc0,(a0)或ax2bxc0,(a0)

一般地，怎样确定一元二次不等式的解集呢？

组织讨论：

从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：

(1)抛物线yax2bxc与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程ax2bxc=0的根的情况

(2)抛物线yax2bxc的开口方向，也就是a的符号

总结讨论结果：

（l）抛物线

yax2bxc（a> 0）与 x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程

ax2bxc=0的判别式b24ac三种取值情况(Δ> 0，Δ=0，Δ<0）来确定.因此，要分三种情况讨论

（2）a<0可以转化为a>0

0

0

0

3

二次函数

yax2bxc

（a0）的图象

一元二次方程

ax2bxc0

有两相异实根

有两相等实根

x1,x2(x1x2)

x1x2b

2aa0的根

无实根

ax2bxc0

(a0)的解集

xxx或xx

12bxx

2a R ax2bxc0(a0)的解集

xx1xx2





ax2bxc0

xxx或xxR 21(a0)的解集R ax2bxc0

b

xx(a0)的解集xx1xx22a三、例题解析

例1、解不等式2x3x20

2

解：原不等式等价于(2x1)(x2)0

1方程2x3x20的解是x1,x22

22所以，原不等式的解集是：

1 x|x或x2

2例2、解不等式3x6x2

2

4

解：原不等式可变形为3x6x20

20，方程3x26x20的解为

33 x11

或x213333所以，原不等式的解集为x|1x1

33例3、

求不等式4x4x10的解集. 2解：因为0,方程4x24x10的解是x1x2. 所以，原不等式的解集是xx

1212通过例题让学生总结解一元二次不等式的步骤

一看：看二次项系数是否为正，若为负化为正

二算：算△及对应方程的根

三写：由对应方程的根，结合不等号的方向，根据函数图象写出不等式的解集。

四、随堂练习(让学生讨论演板展示) 1、解下列不等式

（1）

3x25x02x2x30（2）

2、求函数y2x2x5的定义域。

五、课时小结

1.一元二次不等式的定义与一般形式. 2.三个“二次”的关系.

5

3.一元二次不等式的解法及其步骤. 4.数学思想：数形结合的思想. 5.认识方法：特殊到一般的辩证法．

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