阅读与思考 海伦和秦九韶教案推荐

阅读与思考 海伦和秦九韶

张琼珍 云南省祥云县第一中学 672100

教材版本：人教A版 2007年1月第3版

教材章节：必修5 第一章 解三角形 1.2 应用举例 阅读与思考

海伦和秦九韶

教学课时：3课时

教学目标：

1、理解计算三角形面积的秦九韶公式和海伦公式。

2、掌握计算三角形面积的秦九韶公式和海伦公式的推导过程。

3、培养学生的计算素养、逻辑推理素养。

4、渗透数学文化，了解秦九韶和海伦的生平和在数学上的伟大贡献，数学是人类文明的重要组成部分，中国古代和古希腊都为人类文明作出了不可磨灭的贡献，都有辉煌灿烂的数学文化。

教学重点：渗透数学文化、培养逻辑推理素养。

教学难点：秦九韶公式的推导过程，证明思路的探索过程。

教学过程：

海伦和秦九韶（第1课时）

一、三角形中的公式、定理

内角和定理：ABC

正弦定理：abc2R

sinAsinBsinC余弦定理：

a2b2c22bccosA b2c2a22cacosB c2a2b22abcosC

b2c2a2c2a2b2a2b2c2cosA cosB cosC

2bc2ca2ab

面积公式：

SABC1111×底×高absinCbcsinAcasinB

2222不共线的三点确定一个三角形，三角形的三条边确定则其面积也就确定。

提出问题：已知一个三角形ABC的三条边a、b、c，如何计算此三角形的面积S？

二、秦九韶公式

从特殊到一般，先从特例入手。

例1、已知ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，面积为S.当c13,a14,b15时，求三角形的面积S. 解题思路：

SABC1111×底×高absinCbcsinAcasinB

2222解三角形，自然会想到正弦定理、余弦定理，故得以下解法，

1321421525，

方法一：

在ABC中，由余弦定理得cosB2131413由诱导公式得sinB所以SABC12. 131112acsinB141384.

2213方法二：先求高，再求面积。利用方程思想得以下解法，

过A作BC上的高线AD，得两个直角三角形ADB、ADC，计hAD

由已知及勾股定理得132h2152h214

解得h12.

所以SABC11ah141284.

22由此引出计算三角形面积的秦九韶公式。

南宋著名数学家秦九韶（1202—1261）著《数书九章》卷五“田域类”里有这样一个题目：

“问沙田一段，有三斜。其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里。里法三百步。欲知为田几何。”

答曰：“田积三百一十五顷。”

术曰：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余，半之，自乘于上。以小斜幂乘

大斜幂，减上，余，四约之为实。开平方，得积。”

注：中国古代面积换算

1顷=100亩 1亩=240平方步 1里=300步

1213215214222S[1315()]=84（平方里）

4284300300315（倾）

240100这一问题实际上给出了已知三角形的三边，求三角形面积的方法，把以上文字中的“三斜求积术”写成公式，就是

122a2c2b22S[ac()]

42这一公式习惯上被后人称之为秦九韶公式。

如何证明此公式呢？

仔细观察要证明的式子的结构，发现与余弦定理有关，得以下证法：

证法一：由S1casinB得

211S2c2a2sin2Bc2a2(1cos2B)

44c2a2b2又由余弦定理得cosB

2ca122c2a2b22)]

代入上式变形得S[ca(422122c2a2b22所以S[ca()]

42

证法二：仿例1的方法二得勾股定理证法：

过点A作AD垂直BC，交BC于D点，设ADh、BDx、DCy，则有

c2x2h2

b2y2h2

axy

联立求解得

c2a2b2a2b2c2x

y

2a2a4c2a2(c2a2b2)2

hcx2a221122c2a2b22所以Sah[ca()]

242注：求h也可一步到位

c2h2b2h2a. 海伦和秦九韶（第2课时）

无独有偶，古希腊数学家也给出了已知三角形的三条边计算三角形面积的海伦公式。

一、海伦公式

海伦（大约为公元一世纪的古希腊数学家）在《度量术》中给出了计算三角形面积的实例：

设三边长为7、8、9. 相加取其半，得12, 12减去7，余5，同样，12减8余4, 12减9余3. 12乘以5得60，再乘4得240，再乘以3，得720.求720的平方根，即为所求面积。

在三角形中，三条边长分别为13、14、15，则三角形面积为84。

以上实例实际上给出了已知三角形的三边，求三角形面积的方法，把以上方法翻译成公式，就是

已知三角形的三边为a、b、c，设p1(abc)

，则三角形的面积

2

Sp(pa)(pb)(pc)

这一公式习惯上称为海伦公式。

容易证明，海伦公式与秦九韶公式是等价的。

122c2a2b22由秦九韶公式S[ca()]，经因式分解就可得海伦公式42Sp(pa)(pb)(pc). 二、海伦与秦九韶

秦九韶（约1202——1261）中国数学家，南宋人，著《数书九章》，其在数学上的主要贡献为一次同余式和高次方程的解法。详细生平和贡献可参阅中国古代思想家评传丛书之《刘徽评传》里的秦九韶评传。

秦九韶在《数书九章》中只给出了计算三角形面积的实例及方法“术”，而没有给出公式的证明，吴文俊院士根据中国古代数学思想构造性的特点,利用“出入相补原理”给出了秦九韶公式的一个复古证法。

海伦（Heron）大约为公元一世纪的古希腊数学家、测绘工程师。海伦公式最早出现在海伦的著作《测地术》中，并在其代表著作《度量术》卷Ⅰ的第8命题中给出了几何证明。海伦公式结构对称、便于记忆、形式漂亮、美感十足。

但根据阿拉伯数学家比鲁尼（973—1050）的记载，海伦公式是阿基米德发现的。

边长和面积均为整数的三角形叫做海伦三角形，三边叫做海伦三数组。

古希腊与南宋相隔很远，很难有联系，但奇妙的是，海伦在《度量术》中，秦九韶在《数书九章》中都给出了边长为13、14、15的三角形面积的计算实例。说明这个三角形非常典型，很有特点，14这条边上的高把这个三角形分成了两个直角三角形，边长分别为5、12、13和9、12、15，这三个三角形都是海伦三角形。

海伦和秦九韶（第3课时）

计算三角形面积的海伦公式、秦九韶公式推广到四边形也有类似的结论。

把海伦公式拓展到圆的内接四边形得：

婆罗摩笈多（Brahmagupta，约598—665，印度天文学家、数学家）在公元七世纪初的一部论及天文的著作中，给出了用四边长a、b、c、d表达圆内接四边形ABCD面积S的婆罗摩笈多公式: S(pa)(pb)(pc)(pd)，p1(abcd)

2婆罗摩笈多公式无论从形式上还是内容上都是海伦公式的延拓与推广，当d0时就变为海伦公式，但它仅适用于圆内接四边形。

把秦九韶公式拓展到四边形得：

1842年布列施内德（Bretschneide）给出了已知四边形ABCD的四条边长a、b、c、d和两条对角线长e、f，求四边形面积S的公式：

S14e2f2(a2b2c2d2)2

4此公式为秦九韶公式的推广，当d0时，四边形ABCD就成为三角形ABC，四边形ABCD的两条对角线长e、f变成三角形ABC的边a、c，带入稍加变形得秦九韶公式：

122a2c2b22S[ac()] 42例2、（2001年全国卷文19 ）圆内接四边形ABCD的边长分别为AB2、BC6、CDDA4，求四边形ABCD的面积。

分析：利用婆罗摩笈多公式易得四边形的面积S83. 此高考题随后被北师大版教材选为习题（必修5第57页习题2.2B组第2题）。

例3、（2014年课标Ⅱ卷文17）四边形ABCD的内角A与C互补，AB1，BC3，CDDA2. （1）求C和BD；

（2）求四边形ABCD的面积。

分析：利用公式易得C600，BD7；四边形ABCD的面积S23. 此题不过是上一题的缩小版，增加了第一问求C和BD，相当于提示了解题思路，使解答更为容易。

通过海伦和秦九韶的教学，让学生学习有关三角形的知识、培养技能，提高素养，渗透古希腊的公理化思想，中国古代数学的算法化特点，使高中数学课本知识与数学文化有机的结合在一起。

参考文献：

1、孙宏安 《中国古代数学思想》辽宁教育出版社 2008年版

（第197-210页）

2、梁宗巨 《世界数学通史》上册 大连理工大学出版社 2008年版

（第404-418页）

3、蔡天新 《数学传奇》 商务印书馆 2016年版 （第128—141页）

4、周瀚光

孔国平 《刘徽评传》 南京大学出版社 1994年版 （第169—231页）

2019-6-1