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海伦和秦九韶

【教学目标】

1、知识与技能：

（1）理解秦九韶公式与海伦公式的本质相同；

（2）会证明秦九韶公式与海伦公式，并理解海伦公式的本质；

（3）会用海伦公式解决简单的涉及到三角形三边与面积之间关系的问题。

2、过程与方法：

（1）经历证明秦九韶公式及海伦公式的全过程，培养学生严谨的数学逻辑思维；

（2）提高学生应用海伦公式解决涉及三角形三边与面积之间关系问题的能力。

3、情感态度价值观：

（1）体会到数学的简洁美；

（2）体会数学以不变应万变的魅力。

【教学重点】证明秦九韶海伦公式的过程。

【教学难点、关键】海伦公式的本质。

【教学方法】引导探究、实例运用。

【教学过程设计】

一、三斜求积术

我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”。

秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平

方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积. 三斜求积术：

以下是秦九韶的《数书九章》（Mathematical Treatise in Nine Sections）：三斜求积术

问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？

答曰：“三百一十五顷”

以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积。

秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，减中斜平方，取余数的一半的平方，而得一个数.小斜平方乘以大斜平方，减上面所得到的那个数。相减后余数被4除,所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。

所谓“实”、“隅”指的是，在方程px2=qk，p为“隅”，Q为“实”。

像中国古代的数学家一样，秦九韶的三斜求积术没有证明。根据现代数学家吴文俊的研究，三斜求积术可由出入相补原理得出。而实际上古希腊数学家早在公元一世纪就提出了该公式。

二、海伦公式

以下是古希腊数学家海伦建立的海伦公式。它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式。表达式为：

其中

它的特点是形式漂亮，便于记忆。

三斜求积术与海伦公式等价：

通过上述证明向学生们揭示秦九韶公式与海伦公式的本质是一样的。

三、海伦公式的变形与推广

S= = = = = =1414141414p(pa)(pb)(pc) (abc)(abc)(acb)(bca)

①

[(ab)(a22c][cc222(ab)] ②

22b2222ab)[(a2b2c22ab)] ③

4ab2ab22(ab2c)2222

④

a422ac22bcb4c4 ⑤

海伦公式的推广

由于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，设p=abcd2,则S四边形=(pa)(pb)(pc)(pd)

现根据猜想进行证明。

证明：如图，延长DA，CB交于点E。

设EA = e EB = f ∵∠1+∠2 =180 ∠2+∠3 =180○○

∴∠1 =∠3 ∴△EAB～△ECD

∴fae=efc=bd SEABS四边形ABCD=db222

b解得： e =b(abcd)d2bb2 ① f =b(adbc)d2b2 ②

由于S四边形ABCD =d22b2S△EAB

将①，②跟b =b(dd22b)b22代入公式变形④，得：

所以，海伦公式的推广得证。

四、海伦公式的应用

例题：三边长a，b，c的三角形，满足c>a>b.2a=b+c，且它的周长是12，面积是6，试判断这个三角形的形状.

先让学生们独立做题，最后由老师板书演示解得该三角形为直角三角形。

设计意图：1.让学生经历运用海伦公式解决数学问题的过程；2.培养学生利用海伦公式解决三角形三边与面积之间关系问题的意识。

五、小结并归纳三角形面积公式

通过板书总结本堂课的内容

六、课后探究

1、求内切圆半径等于1的三角形面积的最小值；

2、老师提供资料鼓励学有余力的同学继续探究用其他方式证明海伦公式

【板书设计】（略）