2.基本不等式教学实录与评析

基本不等式

课题

时第一课时

课时

间

1．基本不等式

(1)了解基本不等式的证明过程．

(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．

考

2．不等式的综合应用

纲

会运用不等式性质解决比较大小、值域、参数范围问题

分

析

教会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．

学重会运用不等式性质解决比较大小、值域、参数范围问题

点

教会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．

学难会运用不等式性质解决比较大小、值域、参数范围问题

点

教学设计

教学过程

知识点

基本不等式

评注

知

识

回

顾

a＋b1．基本不等式ab≤

2(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时等号成立．

a＋b(3)其中称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数a，b的几何平均数．

22．利用基本不等式求最大、最小值问题

(1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)．

那么当x＝y时，x＋y有最小值2P.(简记：“积定和最小”) (2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)．

S2那么当x＝y时，xy有最大值.(简记：“和定积最大”) 4易误提醒

(1)求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件．(2)多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性．

必记结论

活用几个重要的不等式：

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．

ba(2)＋≥2(a，b同号)．

ab(3)ab≤a＋b22(a，b∈R)．

22a＋b2a＋b(4)2≤2(a，b∈R)．

(5)a2＋b2a＋b2≥2≥ab≥(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号)．

11＋2ab[自测练习] 1．下列不等式中正确的是(

) A．若a∈R，则a2＋9>6a

基

础

自

测

a＋bB．若a，b∈R，则≥2 aba＋bC．若a，b>0，则2lg≥lg a＋lg b

21D．若x∈R，则x2＋2>1 x＋112．已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有(

) xA．最大值为0

C．最大值为－4

3．下列函数中，最小值为4的是(

) 442－A．y＝x＋B．y＝sin x＋(0

xsin xx＋1∴其最小值为22，故选C. 答案：C 44．已知x>1，则x＋的最小值为________．

x－1B．最小值为0 D．最小值为－4

考点一

利用基本不等式证明简单不等式|

(1)已知a>0，b>0，a＋b＝1，

111＋1＋≥9. 求证：ab例

11(2)设a，b均为正实数，求证：2＋2＋ab≥22. ab

[证明]

(1)法一：∵a>0，b>0，a＋b＝1，

a＋b1b1a

∴1＋＝1＋＝2＋.同理，1＋＝2＋. aaabb

11bababa1题

1＋1＋＝2＋2＋＝5＋2＋≥5＋4＝9.当且仅当＝，即a＝b＝时取∴abababab2

“＝”．

1111＋1＋≥9，当且仅当a＝b＝时等号成立．

∴ab2

1当且仅当a＝b＝时等号成立．

2

(2)由于a，b均为正实数，

11112

所以2＋2≥2·＝，

aba2b2ab

11

当且仅当2＝2，即a＝b时等号成立，

ab

22

又因为＋ab≥2·ab＝22，

abab讲

2

当且仅当＝ab时等号成立，

ab

112

所以2＋2＋ab≥＋ab≥22，

abab

解

11a＝b，当且仅当2ab＝ab，22

4即a＝b＝2时取等号．

利用基本不等式证明不等式的方法技巧

利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．

考点二

利用基本不等式求最值|

11

(1)已知x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则＋的最小值是(

) x3yA．2

C．22

B．23 D．4 (2)(2015·高考重庆卷)设a，b>0，a＋b＝5，则a＋1＋b＋3的最大值为________．

[解析]

(1)由lg 2x＋lg 8y＝lg 2得，2x×23y＝2x＋3y1111＋×(x＝2，即x＋3y＝1，＋＝x3yx3y3yx＋3y)＝2＋＋≥2＋2x3y3yx×＝4，当且仅当x＋3y＝1，x3yx>0，y>0，3yx＝，x3y

即最小值为4.故选D. a＋12＋b＋32(2)(a＋1＋b＋3)＝a＋b＋4＋2a＋1·b＋3≤9＋2·＝9＋a＋b2273＋4＝18，所以a＋1＋b＋3≤32，当且仅当a＋1＝b＋3且a＋b＝5，即a＝，b＝时等22号成立．所以a＋1＋b＋3的最大值为32. [答案]

(1)D

(2)32

条件最值的求解通常有两种方法

一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．

211．(2016·长春调研)若两个正实数x，y满足＋＝1，并且x＋2y>m2＋2m恒成立，则实xy数m的取值范围是(

) A．(－∞，－2)∪[4，＋∞) B．(－∞，－4]∪[2，＋∞) C．(－2,4) D．(－4,2) 214yx4yx22＋＝2＋＋＋2≥8，解析：x＋2y＝(x＋2y)当且仅当＝，即4y＝x时等号成立．由xyxyxyx＋2y>m2＋2m恒成立，可知m2＋2m<8，m2＋2m－8<0，解得－4

1的最大值为(

) zA．2

C．1

3B.

21D.

2xyxy1解析：∵z＝x2＋4y2－3xy，x，y，z∈(0，＋∞)，∴＝2＝≤1(当且2zx＋4y－3xyx4y＋－3yx11111111111仅当x＝2y时等号成立)，此时＋－＝－2，令＝t>0，则＋－＝t－t2≤(当且仅x2yzy2yyx2yz22当t＝1时等号成立)．故选D.

教

学

然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和反

或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．

思

条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，