小结教学设计第一课时

课题：选修2-3 第三章统计案例

小结

广东省潮州市瓷都中学

陈振贤

【教学目标】

1. 复习回顾回归分析和独立性检验这两种统计方法，理解它们的基本思想方法，掌握它们的解题步骤；

2. 通过统计案例的分析，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力；

3. 理解统计思维和确定性思维的差异. 【教学重难点】

1. 重点是应用回归分析或独立性检验的统计方法解决实际问题；

2. 难点是统计方法是可能犯错误的，争取理解统计思维和确定性思维的差异. 【教学过程】

一、本章知识结构：

二、要点整合：

1. 回归分析：

在研究两个变量之间的关系时，可以先根据散点图来粗略地判断它们是否存在线性相关关系，是否可以用线性回归模型来拟合两个变量的关系，如果可以用线性回归模型来拟合时，再求出回归直线方程，最后再作残差分析来判断拟合的效果，并判断原始数据中是否存在可疑数据．

（1）作散点图——判断两个变量是否相关？若相关，是否线性相关？是正相关还是负相关？

^^（2）若两个变量线性相关，通过最小二乘法建立回归模型，求出回归直线方程为y＝bx^^i＝1

xi－xyi－yxiyi－nx

yi＝1nn^^＋a，其中b＝＝i＝1

xi－x2ni＝1x2i－nxn，a＝y－bx，且回归直线必经过样本2点中心（x，y）. ^^（3）计算残差ei＝yi－yi，列残差表，画残差图，进行残差分析，找出可疑数据，判断模型的拟合效果.

i＝1

yi－yi2来刻画回归的效果，R2的值越大，说明残差平n^（4）计算相关指数R＝1－ni＝12

yi－y2方和越小，也就是说模型的拟合效果越好，在线性回归模型中，R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归的效果越好．

【例1】

一个车间为了规定工时定额，需确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得的数据如下表：

零件数

x /个

加工时间

y /min 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 62 72 75 81 85 95 103 108 112 127 (1)画出散点图，并初步判断是否线性相关；

(2)若线性相关，求回归直线方程；

(3)求出相关指数；

(4)作出残差图；

(5)进行残差分析；

(6)试制订加工200个零件的用时规定．

【分析】求线性回归方程的步骤是先作出散点图，看这些散点是否分布在某条直线的附近，如果是，就只需将题目的数据代入公式

^i＝1

xi－xyi－y

xi－xn2ni＝1xiyi－nx

yxi2－nxn2nb＝＝i＝1i＝11n1n，a＝y－bx(其中x＝xi，y＝yi)．

ni＝1ni＝1^^【解】(1)作出散点图，如图所示．

由图可知x，y线性相关．

^^^(2)x与y的关系可以用线性回归模型来拟合，不妨设回归模型为y＝a＋bx.将数据代入相应公式可得数据表：

序

号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

∑

零件个数xi /个

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

550

加工时间yi /min

62

72

75

81

85

95

103

108

112

127

920

xiyi

620

1 440

2 250

3 240

4 250

5 700

7 210

8 640

10 080

12 700

56 130

x2i

100 400 900 1 600 2 500 3 600 4 900 6 400 8 100 10 000 38 500 ∴x＝55，y＝92. ^i＝1xiyi－10x

y＝i＝110∴b＝x2i－10x^10256 130－10×55×92553＝≈0.670. 82538 500－10×552553827∴a＝y－bx＝92－×55＝≈55.133. 82515^^∴回归直线方程为y＝0.670x＋55.133.

(3)利用所求回归方程求出下列数据：

i＝1

yi－yi2≈0.983. 10^∴相关指数R＝1－10i＝1^^2

yi－y2(4)∵ei＝yi－yi，利用上表中数据作出残差图，如图所示．

(5)由散点图可以看出x与y有很强的线性相关性，由R2的值可以看出回归效果很好．

由残差图也可观察到，第2,5,9,10个样本点的残差比较大，需要确认在采集这些样本点的过程中是否有人为的错误．

(6)将x＝200代入回归方程

^得y≈189. ∴可以制订189分钟加工200个零件的规定．

【变式训练1】

(2017年山东)为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线^^^^1010性相关关系，设其回归直线方程为y＝bx＋a.已知xi＝225，yi＝1 600，b＝4.该班某学生i＝1i＝1的脚长为24，据此估计其身高为(

) A．160

B．163

C．166

D．170

【答案】C

－^^110110【解析】x＝xi＝22.5，y＝yi＝160，所以a＝160－4×22.5＝70.当x＝24时，y＝10i＝110i＝14×24＋70＝166.

2. 独立性经验：

在实际问题中，经常会面临需要推断的问题，我们不能仅凭主观意愿作出结论，需要通过试验来收集数据，并依据独立性检验的原理作出合理的推断. 我们考察两个分类变量X和Y是否有关系，并且给出这种判断的可靠程度，其基本做法是：利用列联表计算统计量K2nad－bc2＝，通过查阅临界值表来断言“X与Y有关系”的犯错误概率. a＋bc＋da＋cb＋d

（1）2)2×2列联表：

假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(也称为2×2列联表)为

变

量

x1

x2

总

计

y1

a

c

a＋c

y2

b

d

b＋d

总

计

a＋b

c＋d

a＋b＋c＋d

（2）假设H0：X与Y没有关系. 如果两个分类变量没有关系，则应满足ad－bc≈0.因此|ad－bc|越小，说明两个分类变量之间关系越弱；|ad－bc|越大，说明两个分类变量之间关系越强．

nad－bc22（3）计算随机变量K＝，查临界值表，判断“X与Y有关系”a＋bc＋da＋cb＋d的犯错误概率. P(K2≥k0) k0

【例2】心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：(单位：人) 性

别

男同学

女同学

总

计

几何题

22 8 30 代数题

8 12 20 总

计

30 20 50 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 若认为选几何题的同学具有较好的视觉和空间能力，能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？

【解】由表中数据得K2的观测值为

50×22×12－8×8250k＝＝≈5.556＞5.024，

930×20×30×20而P(K2≥5.504)=0.025

∴在犯错误不超过0.025的前提下，认为视觉和空间能力与性别有关．

∴有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关．

【变式训练2】

某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：

学

生

南方学生

北方学生

合

计

喜欢甜品

60 10 70 不喜欢甜品

20 10 30 合

计

80 20 100

根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”？

【解析】将2×2列联表中的数据代入公式计算，得

nad－bc2K＝

a＋bc＋da＋cb＋d2100×60×10－20×102100＝＝≈4.762. 2170×30×80×20因为4.762＞3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．

3. 统计方法是可能犯错误的：不管是回归分析还是独立性检验，得到的结论都可能犯错误. 好的统计方法就是尽可能降低犯错误的概率. 比如在推断吸烟与患肺癌是否有关时，通过收集数据、整理分析数据得到“吸烟与患肺癌有关”的结论，就可能犯错误. 实际上，这是统计思维与确定性思维差异的反映. 结合本章的学习，谈谈你对统计思维和确定性思维差异的理解.

三、课后练习：课本P101 复习参考题

四、板书设计：

多媒体投影

课件演示

第三章

小结

1.回归分析

2.独立性检验

例题与练习