1.不等式的基本性质名师教学实录

选修4-5 不等式选讲

第一讲

不等式和绝对值不等式

一 不等式

1.1.1 不等式的基本性质

课堂探究

1．实数大小的比较。

数轴上点的与实数一一对应，因此可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数大小，数轴右边的点对应的数比左边的点对应的数大。

abab0;abab0;

abab0.2.复习不等式的基本性质。

(1)对称性：

a＞b⇔

b

＜

a

. (2)传递性：

a＞b，b＞c⇒

a

＞

c

. (3)可加性：

a＞b⇔

a+c>b

＋

c

. (4)同号可加性：

a＞b，c>d⇒

a+c

＞

b+d

(5)可乘性：

a＞b，c>0⇒ac > bc；

a>b，c<0⇒ac > bc. ＞bd (6)同号同正可乘性：a＞b>0，c>d>0⇒

ac

(7)可乘方性：

a>b>0⇒an > bn(n∈N，n≥2)．

nn(8)可开方性：

a>b>0⇒a

> b(n∈N，n≥2)．

3.使用不等式的性质时要注意的问题: 剖析：(1)在应用传递性时，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的．如a≤b，b＜ca＜c. (2)在可乘性（乘法法则）中，要特别注意乘数c的符号，例如1

当c≠0时，有a＞bac2＞bc2；若无c≠0这个条件，则a＞bac2＞bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)．

(3)a＞b＞0an＞bn＞0成立的条件是“n为大于1的自然数”，假如去掉“n为大于1的自然数”这个条件，取n＝－1，a＝3，b＝2，11那么就会出现3－1＞2－1，即＞的错误结论．

324.不等式性质中的“”和“”表示的意思

剖析：在不等式的基本性质中，条件和结论的逻辑关系有两种：“”与“”，即推出关系和等价关系，或者说“不可逆关系”与“可逆关系”．这要求必须熟记与区别不同性质的条件．如a＞b，1111ab＞0＜，而反之则包含几类情况，即若＜，则可能有a＞b，abab11ab＞0，也可能有a＜0＜b，即“a＞b，ab＞0”与“＜”是不等价ab关系．

考点一 不等式的基本性质

【例1】判断下列命题的真假，并简述理由．

(1)若a>b，c>d，则ac>bd；

ab(2)若a>b>0，c>d>0，则>；

cd(3)若a>b，则a＞b，a>b(n∈N且n≥2)．

解：(1)取a＝3，b＝2，c＝－2，d＝－3，即3>2，－2>－3.此时ac＝bd＝－6.因此(1)为假命题．

nnnna(2)因同向不等式不能相除，取a＝6，b＝4，c＝3，d＝2，此时＝c2

b＝2.因此(2)为假命题．

d(3)当a>b>0时，才能成立，取a＝－2，b＝－3，当n为偶数时不成立，因此(3)为假命题．

反思 对于考查不等式的基本性质的选择题，解答时，一是利用不等式的相关性质，其中，特别要注意不等号变号的影响因素，如数乘、取倒数、开方、平方等；二是对所含字母取特殊值，结合排除法去选正确的选项，这种方法一般要注意选取的值应具有某个方面的代表性，如选取0、正数、负数等. 考点二 用作差法比较大小

114【例2】已知x，y均为正数，设m＝x＋y，n＝，试比较mx＋y和n的大小．

解：m-n= 11xy4y(xy)x(xy)4xy(xy)2xyxy(xy)xy(xy)∵x>0,y>0,∴xy>0.x+y>0.∴m-n≥0.∴m≥n

反思

(1)用作差法比较两个数(式)的大小时，要按照“三步一结论”的步骤进行，即：作差―→变形―→定号―→结论，其中变形是关键，定号是目的．

(2)在变形中，一般是变形得越彻底越有利于下一步的判断，变形的常用技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等．

(3)在定号中，若为几个因式的积，需对每个因式先定号，当符号不确定时，需进行分类讨论. 题组练习：

1. 比较(x+3)(x+7)和(x+4)(x+6)的大小。

2．已知a，b∈R，比较a4＋b4与a3b＋ab3的大小．

3

解

(a4＋b4)－(a3b＋ab3) ＝a3(a－b)＋b3(b－a) ＝(a－b)(a3－b3) ＝(a－b)2(a2＋ab＋b2) b232＝(a－b)a＋2＋4b≥0 2(当且仅当a＝b时，取“＝”号) 所以a4＋b4≥a3b＋ab3. 考点三：证明不等式

求证：【例3】

若ab0,c0.cac

b[思路点拨] 可以作差比较，也可用不等式的性质直接证明．

法1：（作差）

证明：ccc(ba)

ababab0,ba0,ab0又c0

c(ba)cc0,abab法2：（利用不等式的性质）

ab1111即ababbaab

证明：ccc0,abab0,反思：进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．

题组练习：

4

3. 若ab，cd,求证：adbc.（法1：作差；法2：性质）

4. 若ab0，c0,求证：bcb.（作差）

aca题型四 利用不等式的基本性质求范围

例3.若 -1

求: (1) a的范围; (2)b的范围; (3)5a+b的范围。

[思路点拨]求代数式的范围应充分利用不等式的基本性质．

1ab3,22a5,1a解：(1)1ab2,5

2(2)1ab2,1ab3,3ba1,42b3

32b2(3)5ab3(ab)2(ab)又1ab2,1ab3

33(ab)6,22(ab)655ab12反思 求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础．在使用不等式的性质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和．

题组练习：

5.已知：－1≤a＋b≤1,1≤a－2b≤3，求a＋3b的范围.

解：设a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b) ＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b. 52解得λ1＝3，λ2＝－3. 555∴－3≤3(a＋b)≤3，

22－2≤－3(a－2b)≤－3. 11∴－3≤a＋3b≤1. 5

11即a＋3b的范围为－3，1. 本课小结：

不等式的8个性质，以及性质的应用，比较大小，证明不等式，求参数的范围。

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