1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用优质公开课教案

独立性检验的基本思想及其初步应用

一、教材分析

本节课在人教A版选修1-2第一章第二节，主要内容是通过典型案例的研究，介绍了独立性检验的基本思想、方法和初步应用。“独立性检验”是在考察两个分类变量之间是否具有相关性的背景下提出的，因此教材上首先提到了分类变量的概念，并给出了考察两个分类变量之间是否相关的一种简单的思路，即借助等高条形图的方法，随后引出相对更精确地解决办法——独立性检验。独立性检验的思想是建立在统计思想、假设检验思想(小概率事件在一次试验中几乎不可能发生)等基础之上。

通过本节课的学习使文科学生认识到统计知识在决策中的作用，是高中数学知识中体现统计思想的重要内容之一，是素质教育的重要组成部分。随着现代信息技术飞速传播和发展，人们每天都会接触到影响生活的统计信息，所以具备一些统计知识已经成为现代人应具备的基本数学素养，包括看图、读表、整理数据的能力，在当今社会也是不可或缺。

二、三维目标

①知识与技能目标

通过对典型案例（吸烟和患肺癌有关吗?）的探究，理解独立性检验的基本思想，明确独立性检验的基本步骤，会对两个分类变量进行独立性检验，并能利用独立性检验的基本思想来解决实际问题。

②过程与方法目标

通过探究“吸烟和患肺癌是否有关系”引出独立性检验的问题，借助样本数据的列联表画出等高条形图，直观判断出吸烟和患肺癌可能有关系。这一直觉来自于观测数据，即样本。问题是这种来自于样本的印象能够在多大程度上代表总体，这节课就是为了解决这个问题，让学生经历逐步领会独立性检验基本思想的体验过程，提高学生的数据分析能力。

③情感态度价值观目标

通过本节课的学习，加强数学与现实生活的联系，体现数学学科的教育价值。培养学生以科学的态度评价两个分类变量有关系的可能性。让学生对统计方法有更深刻的认识，体会统计方法应用的广泛性。教学中适当地利用学生合作与交流，使学生在学习的同时，体会与他人合作的重要性。

三、教学过程

教学环节

师

生

活

动

设

计

意

图

数学教学只有从问题开始才有其生命力，创设一个学生熟悉的实际问题情境，既提出本节课研究的问题，又使学生有亲切感，调动学生的学习热情。同时使学生体会数学的应用价值，感受学习数学新知识的必要性．

让学生自行设计出列联表。分类变量与列联表是本节新概念，但比较简单，学生不难想到，因此鼓励学生独立思考，自主设计. 通过这个简单的问题，希望使能学生们打开思路，同时领略到数学是有用的，数学与生活息息相关。

本着“正难则反”的思路，借助反证法的思考模式，将问题转化为两个分类变量独立，就是研究其概率的关系，在用频率代替概率后，提出思考问

题

导

入

引

入

新

课

师：问题1：吸烟会影响到烟民的寿命吗？

“吸烟有害健康”，这是我们很熟悉的常识，因此我们很自然地认为，吸烟会减损人的寿命，然而也有很多例外。一个吸烟而且长寿的人的例子能说明吸烟对人的健康没有影响吗？为什么？

生：思考，回答

师：问题2：假如我们想通过调查，考察吸烟是否与患肺癌有关，那我们需要用到什么样的数据？是否可以将这些数据列成一张表格便于分类加和？

生：思考，回答

师：问题3：分类变量是本节给出的新概念，你能指出分类变量和我们数学中提到的普通变量在本质上有什么差别吗？你能否再举出几个分类变量的例子？你能否举出一对分类变量，使它们之间有某种相互关联？

生：思考，回答

师：问题4：怎样利用吸烟和患肺癌列联表中的数据，判断吸烟与患肺癌是否有关呢？

生：思考，计算，回答

师：统计上常用等高条形图直观展示列联表数据的频率特征

师：运用Excel软件现场制作等高条形图

新

知

呈

现

分

组

讨

论

师：同学们通过数据和图形分析，直观判断“吸烟和患肺癌有关”，但这种直观判断的不足之处在于不知道有多大的把握认为这二者有关呢？而独立性检验则可以弥补这个不足。

师：问题5：要研究两个分类变量有关系是不容易解决的问题，既然正面很难研究，我们考虑从它的反面入手研究，即假设H0：两个分类变量无关（独立），在H0成立的条件下，能推导出a,b,c,d之间有怎样的关系？

生：分组讨论，推导出在H0成立的条件下有

问题，通过分组讨论由学生自己引出随机变量K2公式中的部分结构。

有利于学生理解随机变量K，为下面提出随机变量K做好铺垫。

22

新

知

解

读

师：问题6：通过上述推导得到化成生：，那么直观上，为表示其差异性，将其转的大小能说明什么？

值让学生头脑里保持一种很清晰的意识：越小，值越小越独立，两个分类变量关系越弱；越大，越不独立，两个分类变量关系越强。

师：问题7：为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，统计学家们经过研究后构造了一个随机变量K2n(adbc)(ab)(ac)(cd)(bd)，其中nabcd为样本22越有利于说明两件事越“独立(无关)”，反之说明越“相关”. 容量。K的大小又能说明什么？

生：思考，齐答“K越小说明两个变量越独立（无关），K越大说明两个变量越不独立（有关）”。

22

启

发

探

究

随机变量师：问题8：在假设“H0：两个变量无关”下，K的观测值k应该很小，但多小才算小呢？

师：这时需要一个衡量大小的临界值k0。统计学家们总结出如下的卡方临界值表：

P(K≥k0) k0

P(K≥k0) k0

22的20.50 0.455 0.05 3.841 0.40 0.708 0.025 5.024 0.25 1.323 0.010 6.635 0.15 2.072 0.005 7.879 0.10 2.706 0.001 10.828 以k0=6.635为例，下，计算出随机变量，就是说在H0成立的条件的观测值大于等于6.635的概率不超过0.01，也就是有99%的情况下其观测值是小于6.635的。

生：理解教师的讲解，参与到思想方法的理解中。

理解是本节课的难点之一，利用概率知识解读卡方临界值表中数据的含义，有助于学生理解独立性检验的基本思想. 本环节我没有按照教材的呈现顺序，而是将卡方临界值表提到前面来讲解，这样改变后能使学生首先了解随机变2量K的含义，并2能体会到如果K的观测值很大，就认为两个分类变量是有关系的合理性，为后面引出独立性检验的规则做好铺垫。达到突破难点的目的。

类

比

对

比

归

师：问题9：从整体思路上看，独立性检验的思想与反证法的思想有些类似之处，请将下列表格补充完整，并体会它们各自的本质及二者之间的区别和联系，并尝试归纳独立性检验的一般步骤。

反证法原理

独立性检验原理

在假设H0下，如果推出一个矛盾，就证明了______不

成立。

在假设H0下，如果出现一个与H0相矛盾的小概率事

件，就推断______不成立，且该推断犯错误的概率不

超过这个小概率。

使学生初步体会独立性检验的整体思想，并与所学的反证法思想相对比，顺便归纳整理独立性检验的一般步骤.此问题难度较大，需要学生建立在对反证法与独立性检验的原理及操作全过程都比较熟悉的基础上才能完成。

生：观察，思考，齐答。独立性检验的一般步骤：明确问题→确定

纳

犯错误概率的上界及的临界值→收集数据→整理数据→制

提

列联表→计算统计量的观测值→比较观测值与临界值并

升

给出结论. 师：问题10：为什么在最后表达结论时要出现“在犯错误的概率不超过的前提下”这样的词？

师：独立性检验中因为有“认为小概率事件不可能发生”的观点而存在漏洞，从而存在着犯错误的风险。我们认为犯错误的概率不会超过小概率事件的发生概率，因此在结论中会这样描述“在犯错误的概率不超过的前提下，我们认为”。

生：理解教师的讲解，参与到思想方法的理解中。

例1 在500人身上试验某种血清预防感冒作用，把他们一年中的感冒记录与另外500名未用血清的人的感冒记录作比较，结果如表所示。问：该种血清能否起到预防感冒的作用？

师：启发、引导、讲解

生：思考、计算、作图

师：小结独立性检验的步骤。

使学生意识到，犯错误概率是进行独立性检验中不可缺少的数据，并学会处理数据，建立统计观念。

通过例题解析，使学生进一步熟悉独立性检验能解决什么问题，解决步骤如何，还有解题过程的书写格式。既深化对该统计思想的理解，又掌握应用独立性检验解决问题的步骤。

例

题

讲

解

成

果

展

示

各小组将各自收集的分类变量数师：课前各小组都收集了你们感兴趣的分类变量的相关数据，利用据进行独立性检本节课我们所学的独立性检验进行判断，看各自有多大的把握认为验，并展示检验它们有关系？

结果，加深学生

对独立性检验思

想的理解，体验生：小组内进行检验，而后每小组由一名学生进行研究成果展示。

数学在实际生活

中的应用。同时

用学生收集的分

类变量数据做练习，更能增强学生的学习兴趣。

练习：网络游戏对现代人的生活影响较大，尤其对青少年.为了解网络游戏对中学生学习成绩的影响，某地区教育主管部门从辖区初中生随机抽取了1000人调查，发现其中经常上网玩游戏的有200人，其中有80人期末考试不及格，而另外800人中，有120人不及格.问：中学生经常玩网络游戏是否影响学习？为什么？(你的结论正确率要达到99%) 作业： 由学生先进行小组讨论，有些学生不会利用所学知识来分析问题，通过小组讨论，借助集体的力量，增强学生课

堂

课

后

练

习

1. 仔细阅读课本，并体会独立性检验的基本思想

2. 课本15页的“练习”

对独立性检验的理解，巩固提高所学知识，体会合作学习的有效作用。