1.3 实习作业教学创新设计

点击三角形面积引申题

例1

如图1，已知直角三角形的两直角边AC,BC的长分别为4和3，且其外接圆的劣弧

上有一点P满足PACAC 

45

，求四边形ABCP的面积.

分析：将四边形分成ABC和APC，求出这两个三角形的面积，再求和即可完成. 解：如图2，连接PB，则可知APB为Rt，BC3,AC4,

C34AB5,sinBAC,cosBAC.

55又BAPBACCAPBAC45.

PAB42322cosBAPcosBAC45cosBACcos45sinBACsin45.525210

APABcosBAP5221122.SACPACAPsin4541

1022222SABC11BCAC346.故S四边形ABCPSABCSAPC617.

22例2

如图3，已知四边形ABCD中，ABBC,AB23,BC2,ACCD,

ADC120.求四边形ABCD的面积.（答案提示：连接AC,可知DCAC4,用余弦定理求出ACCD43，所以3ABS四边形ABCDSABCSACD2343103＝）. 33例3已知ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且22sin2Asin2CabsinB,ABC的外接的半径为2.

（1）求角C.

（2）求ABC面积S的最大值. 解:(1)由正弦定理及已知得sinAa22,sinCc22,sinBb22代入22si2nAsi2nCabsiBn得a2c2abb.c2a2b2ab.

a2b2c21,又0C,C60.

由余弦定理得cosC2ab2

(2) 由(1)得c22sinC即ab6ab.SABC26.a2b2ab6abab6.

211322absinC6absin606ab.

22433.

2当ab时,SABC的面积有最大值为例4

在AOB中,O为坐标原点,Acos,sin,B2cos,2sin,求三角形AOB的面积最大值. (答案提示:用距离公式求出AB54cos,由余弦定理得nAOB1co2s.故SAOB1cos2.

cosAOBcos.si当cos0时,SAOB的最大值为1).

证明恒等式应用

例1

在△ABC中，若a2b(bc)，求证：A＝2B. a2b2c2bcc2bca证明：因为cosB，

2ac2ac2a2ba2a22b2b2bc2b2cb所以cos2B2cosB1221. 222b4b2b2b2b2c2a2b2c2(bcb2)cb又cosA，所以cosAcos2B. 2bc2bc2b而角A，B是三角形的内角，所以A＝2B.

例2

在△ABC中，求证：tanA(sin2Bsin2Csin2A)tanB(sin2Csin2Asin2B)

证明：由正弦定理与余弦定理，可得sinAsinBsinC2sinBsinCcosA，

222sin2Bsin2Asin2C2sinAsinCcosB，

所以sinCsinAsinB2sinAsinCcosB.

①

222sinA2sinBsinCcosA2sinAsinBsinC，

cosAsinB2sinAsinCcosB2sinAsinBsinC. ①

式右边cosB则①式左边＝所以左边＝右边，即tanA(sinBsinCsinA)tanB(sinCsinAsinB). 222222

例3

如图1，一条直线上有三点A、B、C，点C在点A与点间，点P是此直线外一点，设APC,BPC，求证：B之sin()sinsin. PCPBPA证明：因为SABPSAPCSBPC，

111PAPBsin()PAPCsinPBPCsin，

222sin()sinsin两边同除以PA·PB·PC，得. PCPBPABDAB.

例4

已知△ABC中，AD是BAC的平分线，求证：DCAC证明：如图2，设ADB，在△ABD中，由正弦定理得

BDABBDsinBAD，即，

sinBADsinABsin所以在△ACD中，由正弦定理可得DCAC，

sinDACsin()DCsinDAC，因为由题设知BADDAC，

ACsinBDDCBDAB.

所以，即ABACDCAC即