1.3 二项式定理（通用）教学设计

人教版高中数学选修2-3第一章§1.3.1 《二项式定理（一）》教学设计

忻州市第一中学校 康德胜

一、教学目标

1、知识与技能：

（1）理解并掌握二项式定理的产生过程，能利用组合思想证明二项式定理．

（2）能应用二项式定理解决相关的问题．

2、过程与方法：

通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、猜想、归纳的能力，以及学生的化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式．

3、情感、态度与价值观：

培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造的过程，体会数学语言的简洁和严谨．

二、教学重点、难点

重点：用组合思想分析(ab)2、(ab)3的展开式，得到二项式定理．

难点：用组合思想分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律．

三、教学手段[来源:Zxxk.Com]

制作多媒体课件，以增加课堂容量，提高学生课堂的参与度，使学生加深对定理、概念的理解．

四、教学过程

（一）提出问题，引入课题

教师提问：若今天是星期三，今天是第一天，那么第7天后、第15天后、第24天后是星期几？

第8100天是星期几？

【设计意图】把问题作为教学的出发点，引出课题，激发学生的求知欲，明确本课题要解决的问题．

教师介绍：二项式定理的古代发现历程

在中国被称为「贾宪三角」或「杨辉三角」，一般认为是北宋数学家贾宪所首创。它记载于杨辉的《详解九章算法》(1261)之中。

在阿拉伯数学家卡西的著作《算术之钥》(1427)中也给出了一个二项式定理系数表，他所用的计算方法与贾宪的完全相同。

在欧洲，德国数学家阿皮安努斯在他1527年出版的算术书的封面上刻有此图。但一般却称之为「帕斯卡三角形」，因为帕斯卡在1654年也发现了这个结果。

无论如何，二项式定理的发现，在中国比在欧洲要早500年左右。

二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664-1665年提出，但并未给出进一步证明。

1811年，高斯对此进行了严格的证明，结果表明牛顿的猜想是正确的。

【设计意图】为本节课注入了活力，有助于引导学生思考、领悟和汲取蕴含在传统文化中的民族精神和民族智慧，形成现实生活与优秀传统文化的互动，潜移默化地增强了学生的爱国主义情感。

（复习引入）初中学***方式是什么？你能写出(ab)、(ab)的展开式吗？

【设计意图】通过复习旧知识，自然引入，在这里设计了层层递进多项式展开问题，目的是为了让学生了解知识发生、发展的过程，激发学生的认知的冲突，让学生明白(ab)实质上是多项式的乘法．

（二）引导探究，发现规律

（教师讲解）

(ab)2a22abb2；

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人教版高中数学选修2-3第一章§1.3.1

(ab)3(ab)2(ab)a33a2b3ab2b3．（学生回答）

【问题1】：(ab)3展开式有几项？

【问题2】：(ab)3展开式中各项的系数是什么？

【问题3】：(ab)3展开式怎么得到a项，ab项，ab项，b项？

（学生展示）

探究1：仿照上述过程，请你推导(ab)4的展开式．

(先请学生展示，之后小组谈论共同总结以下规律)

探究2：求(ab)n(nN*)的展开式. 【问题4】：有几项？

【问题5】：字母a次数按

排列，次数由

递减到

, 字母b次数按

排列，次数由

递增到

. 3222【问题6】：二项式系数:

. 【问题7】：二项式展开式的通项:

,它是第

项,用

来表示

【设计意图】通过几个问题的层层递进，引导学生用组合思想对(ab)2、(ab)3的展开式进行再思考，分析各项的形成，项的个数，这也为推导(ab)n的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依．

（三）形成定理，说理证明[来源:学_科_网]

【问题8】如何证明这个猜想呢？（教师讲解）

证明：(ab)是n个(ab)相乘，每个(ab)在相乘时，有两种选择，选a或选b，由分步计数原理可知展开式共有2项（包括同类项），其中每一项都是annnk对于每一项，bk(k0，1，2，，n)的形式，nk个(ab)选了a得到的，它是由k个(ab)选了b，它出现的次数相当于从n个(ab)中取k个bk的组合数Cn，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．

【设计意图】通过仿照(ab)，(ab)展开式的探究方法，由学生类比得出(ab)的展开式．二项式的定理的证明采用“说理”的方法，从计数原理的角度对展开过程进行分析、概括出项的形式，用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的个数，从而得出用组合数表示的展开式．

（四）熟悉定理，简单应用

例题1.（1）写出(1x)的展开式．

（2）写出(ab)的展开式．（提问，学生展示）

若（1）中令x=1你能推导出什么结论？（提问，学生总结）

【设计意图】对定理加以应用，让学生能熟练掌握定理的特点，以便今后在应用定理解决问题时能得心应手．同时推导相关结论，便于以后应用。

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人教版高中数学选修2-3第一章§1.3.1 例题2.

求(3x1（学生展示讲解，学生评价质疑，教师补充拓展）

)4的展开式．x思考1：展开式的第四项是什么?第四项系数和第四项的二项式系数分别是什么？

思考2：展开式的常数项是什么？

【设计意图】目的在于对定理中字母a、b所表示的数或式的领会及提高运用定理的能力，熟悉二项展开式，培养学生的运算能力；从思考1与思考2中体会项的系数与二项式系数的区别；熟悉通项的应用．

学以致用：

0199100解决课前提出的问题：8100(71)100C100

7100C100799C1007C10001997(C100799C100798C100)1

第810天是星期四．

（五）课堂小结

（由学生归纳本课学习的内容及体现的数学思想）

0n1n11knkknn1、公式：(ab)nCn

aCnabCnabCnb(nN*)．2、思想方法：（1）从特殊到一般的思维方式；（2）用组合思想分析二项式的展开过程．源:Zxxk.Com]

（六）板书设计

二项式定理

1.二项式定理的内容

(a+b)2= (a+b)3= (a+b)4= 归纳：

(a+b)n=

（七）教学反思

2.二项式展开式

有几项？

字母a次数按 排列，次数由 递减到 , 字母b次数按 排列，次数由 递增到 . 二项式系数: . 二项式展开式的通项: ,它是第 项,用 来表示

【问题7】：二项式展开式的通2.

二项式定理应用

例题1. 例题2.

4.课堂小结

设计说明

二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体应用，是学习概率的基础．

本节课的教学重点是“使学生掌握二项式定理的形成过程”，在教学中，采用“问题——探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律的四个阶段．让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，让学生体验定理的发现和创造历程．

本节课的难点是用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律．在教学中，设置了对多项式乘法的再认识，引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后面的二项式展开式的推导作铺垫．再以(ab)，(ab)为对象进行探究，引导学生用计数原理进行再思考，分析各项以及项的个数，这也为推导(ab)的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依．

总之，本节课遵循学生的认识规律，由特殊到一般，由感性到理性．重视学生的参与过程，问题引导，师生互动．重在培养学生观察问题、发现问题、归纳推理问题的能力，从而形成良好的数学思维能力．

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