阅读与思考 海伦和秦九韶教案2

《海伦和秦九韶》教学设计

南昌市洪都中学

周海浪

一．教学目标

1、知识与技能：（1）理解秦九韶公式与海伦公式的本质相同；（2）会证明秦九韶公式与海伦公式，并理解海伦公式的本质；（3）会用海伦公式解决简单的涉及到三角形三边与面积之间关系的问题。

2、过程与方法：（1）经历证明秦九韶公式及海伦公式的全过程，培养学生严谨的数学逻辑思维；（2）提高学生应用海伦公式解决涉及三角形三边与面积之间关系问题的能力。

3、情感态度价值观：（1）体会到数学的简洁美；（2）提高学生对数学之美的认识和审美能力；（3）感受数学文化和几何的魅力。

二. 教学重难点

教学重点：证明秦九韶海伦公式的过程。

教学难点：海伦公式的本质。

三.

教学方法：

引导探究。

四. 教学过程设计

（一）蓦然回首

1.

上节课推导的三角形面积公式：在ABC中，已知两边长a,c以及sinB，求1SABC. SABCacsinB

22.余弦定理中我们得到三个推论：（从三角形三边计算出三角形三个角）

b2c2a2a2c2b2a2b2c2cosA

cosB

cosC. 2bc2ac2ab

（二）问题提出

问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里。里法三百步，欲知为田几何？

转化为数学语言为下列图形：

上述问题等价于：在ABC中，已知a15,b14,c13，求三角形的面积SABC.

问题1：运用我们已经学习过的知识可以直接求解吗？

问题2：还有其他的求解方法吗？

（三）海伦--你从哪里来？

1.

用一段毛阿敏的《思念》做背景音乐引入主题，再让学生阅读手中资料进一步了解古希腊的数学发展和海伦生平。

海伦（Heron of Alexandria，公元62年左右），古希腊数学家、力学家、机械学家。生平不详。约公元62年活跃于亚历山大，在那里教过数学、物理学等课程。他多才多艺，善于博采众长。在论证中大胆使用某些经验性的近似公式，注重数学的实际应用。海伦有许多学术著作，都用希腊文撰写，但大部分已失传。

《度量论》一书于1896年被德国人舍内在君士坦丁堡发现。该书共3卷，分别论述平面图形的面积，立体图形的体积和将图形分成比例的问题。其中卷Ⅰ给出

著名的已知三边长求三角形面积的海伦公式。

设计意图：通过熟悉的歌声引入本教学环节，自然高雅，学生会饶有兴致，更投入地参与到课堂中来。

（四）你那么美，教我如何不想她

公元1世纪，希腊数学家海伦在其著作《度量论》一书中给出了一个漂亮的公式：设a,b,c是ABC的三边长，若pabc，记

2SABCp(pa)(pb)(pc). 问题1：海伦是怎样推导出这个公式的呢？

问题2：为什么说海伦发现的海伦公式很了不起？

请全体同学带着两个问题继续阅读材料，穿越时空，回到两千年前，欣赏他的跌宕起伏、荡气回肠的绝世证明. 设计意图：让学生带着问题阅读，有利于培养学生的阅读能力，激发学生的思考，更好地感受数学文化的魅力、几何的神奇和美感，体会古代数学家的探索历程，让学生在文化中得以熏陶。

（五）你那么美，请让我多看两眼

除了海伦美妙绝伦的纯几何法证明，我们能不能用所学的知识来证明呢？

作为热爱数学的人，看到一个漂亮的结论或公式，肯定会有一种想证明的冲动。就好比看到一个漂亮的姑娘，忍不住会多看两眼。 1.引导学生从已学过的两个最基本的三角形的面积公式出发，在此基础上尝试推导已知三边求三角形面积的公式。 2.方法一：（勾股法） 如右图：h2c2x2b2(ax)2

c2a2b2 解得x

2ac2a2b22因此hc

2a故SABC2222222211cab1cab22ahac2ac

222a422这个三角形面积公式就是著名的秦九韶“三斜求积术”

（六）数学没有国界，她就是语言

我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积，用现代公式表示即为：

122c2a2b2ac422 SABC

秦九韶“三斜求积术”与海伦公式本质上是一样的，有着异曲同工之妙，这就是数学的神奇之处，她突破了时空的界限。数学就像一种语言，把两个不同时代、不同国度的人联系在一起，这就是数学独有的魅力。下面再通过一个简短的视频让我们来认识秦九韶。

问题：能否由秦九韶的公式推导出海伦公式？

请同学们仔细观察两个公式的特点，给你们10分钟的时间进行探究。到时再用希沃“授课助手”分析一位同学的推导过程。

122c2a2b2ca422完整推导过程：SABC

1c2a2b2c2a2b2caca

422

12acc2a2b22acc2a2b2

4221acb2acb2

42222abcbcaacbabc

2222abc. 2p(pa)(pb)(pc)，记p设计意图：通过学生主动探究由“三斜求积术”推导海伦公式，学生可以亲历知识的生成过程，深刻体会两种公式的等价性，让学生感受到数学就是语言，她可以突破时空的限制，把海伦和秦九韶紧紧联系在一起。

（七）再探究，不罢休

问题：我们前面用了三角形的标准面积公式S1ah来证明秦九韶和海伦2公式，还有其他的方法推导秦九韶“三斜求积术”和海伦公式吗？请同学们观察我们上一节课学的用正弦表示的面积公式S积术”对比，尝试你的推导。

方法二：（纯代数法）

1acsinB,同时与秦九韶“三斜求2SABCa2c2b21112

acsinBac1cosBac12222ac122a2c2b2ac 4222（三斜求积术）

（八）大咖谈数学之美

伟大的哲学家罗素认识到数学中的美，他也恰如其分地描绘出了这种美：

“正确地说，数学不仅拥有真理，而且还拥有极度的美——一种冷静和朴素的美，犹如雕塑那样，虽然没有任何诱惑我们脆弱本性的内容，没有绘画或音乐那样华丽的外衣，但是，却显示了极端的纯粹和只有在最伟大的艺术中才能表现

出来的严格的完美。”（请同学们齐声朗读）

设计意图：通过品味伟人的名言和本节课的教学过程，提高学生对数学之美的认识和审美能力，以达到本课情感、态度与价值观的教学目标。

（九）海伦公式的应用

问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里。里法三百步，欲知为田几何？

上述问题等价于：在ABC中，已知a15,b14,c13，求三角形的面积SABC.

解：p

abc15141321，则SABCppapbpc

222167884. （十）课堂小结

122c2a2b2ac4221.公式等价SABC（秦九韶“三斜求积术”）

ppapbpc（海伦公式）

2.

再次感受几何与代数的交融与魅力，再次体会古人在数学上的探索和成就，是多么不易和神奇，现在回想仍然很激动。

（十一）好戏还在后头

海伦公式因其完美的对称性，具有某种模式，如推广到四边形：

定理：若四边形ABCD内接于圆，其四边形分别为a,b,c,d.设半周长sabcd，那么四边形面积k2sasbscsd。

问题1：这里为什么要加四边形内接于圆这一条件？

问题2：你能证明这个公式吗？（课后探索）

设计意图：让学生再一次感受到数学的神奇和唯美，激发学生的探索欲望，提升学生素养，让学生对这节课意犹未尽，刻骨铭心。