1.3 二项式定理（通用）名师教学实录

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授课人：王小军

授课时间：

2018年

4月

课题

选修2-3：:1.3.1二项式定理

课型

新授课

第几课时

1 课时

教学

目标

学生通过合情推理猜想得到二项式定理，并能熟记二项式定理并解决二项式展开式及通项公式等简单问题。同时，学生体验到了归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

教学重点与

难点

重点

二项式定理及通项公式的掌握及运用.

难点

体

二项式定理及通项公式的掌握及运用.

教学方法

教学方法与

手段

通过不断提问引导学生猜想发现重要结论，突破各个难点；

教学手段

采用多媒体进行教学，通过不断启发学生、学生合作探究和分析讨论来得出结论并解决问题。

在学习二项式定理之前，学生已经学过了分类加法技术原理和分步乘法计数原理，以及排列组合灯知识，另外在选修2-2学生已经学过了推理与证明，其中，合情推理中的归纳猜想以及数学归纳法灯思教学策略

、

学生学情分析

以及使用教材的构想

想方法为得出二项式定理打下理论基础和思想方法基础。

课本只是由合情推理归纳猜想出二项式定理，没有给严格的证明，是否正确，学生不得而知。因此，需要教师明确告诉学生它是真命题，可以利用数学归纳法来证明，但由于时间关系，课上不证明，课下可以作为一个研究性学习课题进行探究。

有了定理，再引出数学家杨辉及“杨辉三角”，给学生以爱国主义教育，也激励学生强烈的民族自豪感和自信心，并倡导学生好好学习来继承这些数学财富，并将之发扬光大。

课上给学生板演两个例题，其中一个是求二项展开式，另一个是求通项，同时让学生对应做两个练习，并提出不同方法及注意事项的指导，以加深学生对公式的理解和认识。

在最后展示了一个和“杨辉三角”有关的计算机程序。不仅复习了必修三程序框图和算法与句等知识，也能够进一步激发学生更强的学习热情，以更饱满的激情来学习数学。

- 1 -

课时教学流程

一、引入：

补充

师：在数学上，我们在遇到一个定理或一个公式时，一般都要从三个方面进行研究——它的具体内容是什么，它是如何推导出来的，它又有什么用处——这正好印证了哲学中关于人生的三个终极问题——你是谁，你从哪里来，你到哪里去？

今天，我们也要学习数学上的一个美丽的公式，它叫——二项式定理(板书)。因此，我们也问三个问题——它是谁，它从哪里来，它到哪里去？

首先请看大屏幕，求下列各项展开式：

(1)

(ab)2

(2)

(ab)3

(3)

(ab)4

生1：回答，并解释前两个公式是已经记住，第三个式子是通过多项式的乘法展开的. 2018n展开式是什么(ab)(ab)师：非常好，那我想问请大家，，又是什么？

我们是否可以将以上展开式与刚刚学过的分类加法计数原理、分部乘法计数原理及排列组合联系起来，小组讨论三分钟，三分钟后，我们请小组代表来回答。

二、探究：

现在各小组进行探究活动，通过观察讨论，运用排列组合知识，改写各项系数，使之有一定规律：

(4)

(ab) (第1小组代表发言)

(5)

(ab) (第2小组代表发言)

(6)

(ab) (第3小组代表发言)

因此，我们为您可以猜想得到：

432(ab)n (第4小组代表发言)

这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(ab)的二项展开式. 公式需要注意以下两点：

【1】二项式系数： ;

【2】通项：Tk1 (0kn). 师：另外，我们刚才只是通过合情推理猜想得出二项式定理，之后也仅仅是用排列组合知识简单解

- 2 - n

释说明，还不足以是严格证明二项式定理，那么问题来了，这一公式到底正确与否不得而知，如果正确，如何严格证明二项式定理. 老师要告诉大家的是，这个命题是真命题，这个公式是对的。我们完全可以通过选修2-2数学归纳法来进行严格的证明，在这里不进行细说了。感兴趣的同学可以课后作为一个研究型学习课题来进行研究，如果有疑问，可以随时来找我答疑。

师：下面，我们从发另一个角度在此观察二项式系数的特点.请看大屏幕。

系数成三角形形状，它叫“杨辉三角”，因此它就和我国一位伟大的数学家——杨辉有关。请看大屏幕。

语文课代表高声朗读：

杨辉（南宋著名数学家）

杨辉，字谦光，汉族，钱塘（今浙江杭州）人，南宋杰出的数学家和数学教育家，生平履历不详。曾担任过南宋地方行政官员，为政清廉，足迹遍及苏杭一带。

他在总结民间乘除捷算法、“垛积术”、纵横图以及数学教育方面，均做出了重大的贡献。他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。著有数学著作5种21卷，即《详解九章算法》12卷（1261），《日用算法》2卷（1262），《乘除通变本末》3卷（1274），《田亩比类乘除捷法》2卷（1275）和《续古摘奇算法》2卷（1275）（其中《详解》和《日用算法》已非完书）。后三种合称为《杨辉算法》。朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界。

[1]

杨辉还曾论证过弧矢公式，时人称为“辉术”。

[1]

与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”。

师：我们有这么伟大的数学家，还有许多他留给全人类的宝贵财富，作为中国人，我们应该深感骄傲和自豪。因此，在自豪之余，作为中学生的你们更应该有责任和义务传承这些宝贵财富，并将它发扬光大。这也是本节课我们要学习二项式定理的目的之一。

师：我们借助于具体例题归纳二项式定理的特点. 三、典例：

我们要熟记二项式定理这一公式，并能正用、逆用和巧用。

例1.

求12x的二项展开式. 52练1. 求x的二项展开式. x

生1：上黑板完成. 师：二项式系数和系数的区别.

生：有区别，简单说明，加深学生对二项式定理的理解和记忆.

- 3 - 6

师：思考，本题还有没有其他方法. 生2：:也可以先通分化简，再把分子展开即可。

师：再问(abc)n如何展开。

生3：可以通过加括号多次运用二项式定理，进行展开。

师：我们再来看和通项有关的题型.

例2.

求2x3y5的第3项. 6

师：在黑板上板演给学生,并说明注意事项.

2练2. 求x3的常数项. x生：上黑板展示.（提示学生，先求通项）.

师：如果要求x的系数，也是同类型题目 (学生一致认同). 师：我们刚刚只是对定理的简单应用，那么还有没有更多的应用呢？

思考：我们再举个例子。我们学过集合的知识，对于一个的n元素子集个数为2个，能否用二项式定理来解释. 012n生：按照原集合的子集中元素个数的不同，可有Cn，就是二项式定理中CnCnCnna1,b1的情形，所以加起来就是2n. 师：以前我们只是记住了这一结论，具体为何是这样不得而知，现在我我们呢运用二项式定理重新证明了这一命题的真假，也是大家对这一结论有了更深刻的理解，也加深了记忆. 师：当然数学不光是有用的，数学也是有趣的，数学不是枯燥无味的，数学是好玩的。请看大屏幕.

老师在这里给大家展示一个小软件，它运用计算机语言(C++）编程得到的，里面就包含一个n阶杨辉三角。

这是对应的计算机程序。

- 4 -

我们在必修三已经学过简单的程序框图和算法与句。展示这一程序软件的另一个目的，是想让同学们知道，这些计算机程序的背后，是深厚的数学理论知识的支撑。因为我们只有编好正确的程序框图，才能进一步编写计算机程序，才能有更多更广泛的应用。因此，我们只有先学好数学中这些基础知识，并能够灵活应用，我们才有更丰富的知识武装自己，才能更好的发展自己。才能将数学应用到其他学科，以及人类生活和生产当中。

所以，我希望大家平时严格要求自己，早日实现自己的大学梦，在大学里求知若渴地学习自己喜欢的专业，并在不久的将来实现自己的人生价值。

四、小结

最后，我们请同学们回忆，今天我们学到了什么？注意要从三个不同的角度来说。

知识层面：

;

思想层面：

; 价值观层面：

.

生：

- 5 -

课时达标检测设计（试用）

检测目标点与用时预项目

检测内容

设；反馈、矫正方法预设与达标效果补充

※

当堂检测

1.

二项式ab2n的展开式的项数是 .

5

2.

在2x21x的二项展开式中，x的系数为( ). A．10 B．－10 C．40 D．－40 当

堂

达

标

检

测

- 6 - 2n1

D

课时教学设计尾页

板

书

设

计

补充设计

作

业

设

计

1.

课本P31练习1-4,P36A组1-5.

2.

补充作业：

(1)

13x(其中nN且n≥6)的展开式中，若x与x的系数相等，则n＝( ) n*56A．6 B．7 C．8 D．9 1(2)

在32x的展开式中，系数是有理数的项共有( ) 2A．4项 B．5项 C．6项 D．7项

n201(3)

已知在3x的展开式中，第6项为常数项．

32x(a)求n；

(b)求含x的项的系数；

(c)求展开式中所有的有理项．

3. 课后探究：

结合二项式定理，求9除以100的余数.

92

- 7 -

教

学

后

记

经过一周的充分准备，打磨出这一节课。在这之中，有困惑，有惊奇，有通宵达旦的独立思考，也有同事的热情帮助，特别是感谢德高望重的刘圣慧老师对我的悉心指导。

1.

在引入时，我类比哲学中关于人生的三个终极问题，得到一般定理的三个终极问题，并始终贯穿于整个课程的教学之中。

2.

二项式定理是由教师引导学生探究得出来的，但只是合情推理得出的，课本没有给严格的证明，因此我在课上提出了一个研究性学习课题，二项式定理可以利用数学归纳法来证明，感兴趣的学生课后进行探究。

3.

通过定理的证明，又引出了我国古代著名的数学家杨辉和他的成果“杨辉三角”，我就抓住这一题材，对学生进行了爱国主义的教育，激励学生强烈的民族自豪感和自信心，也倡导学生好好学习来继承这些数学财富，并将之发扬光大。

4.

在例题讲解结束后，我采用二项式定理来解释必修一中集合中子集的个数，让学生再一次深刻理解了这一结果。

5.

为了激发更多学生学习数学的浓厚兴趣，我在最后展示了一个和“杨辉三角”有关的计算机程序，不仅复习了必修三程序框图和算法与句等知识，也能够进一步激发学生更强的学习热情，以更饱满的激情来学习数学。

不足之处，还望批评指正。

我将继续“不忘初心，继续前行”。

王小军

太原市第四十八中学校

2018年4月

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