阅读与思考 错在哪儿全国优秀课堂实录

3.5.1 二元一次不等式(组)所表示的平面区域

1．了解二元一次不等式(组)的概念．

2．理解二元一次不等式(组)解集的几何意义．

3．会画二元一次不等式(组)所表示的平面区域．

1．二元一次不等式(组)的概念

(1)二元一次不等式是指含有____个未知数，且未知数的______次数是____的整式不等式．二元一次不等式组是指由几个含有两个未知数，且未知数的最高次数为1的整式不等式组成的不等式组．

(2)二元一次不等式(组)的解集是指满足这个不等式(组)的实数x和y构成的有序数对(x，y)构成的集合．

(3)二元一次不等式的一般形式为________________或__________________．

【做一做1－1】若点P(1，－2)不在直线Ax＋By＋C＝0上，则(

)．

A．A－2B＋C＝0 B．A－2B＋C≠0

C．A＋2B＋C＞0 D．A－2B＋C＜0 【做一做1－2】完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，则x，y满足的约束条件是________．

2．二元一次不等式表示的平面区域

(1)直线l：Ax＋By＋C＝0，它把坐标平面分为两部分，每个部分叫做__________．开半平面与l的并集叫做__________．以不等式解(x，y)为坐标的所有点构成的集合，也叫做________________或____________．

(2)坐标平面内的任一条直线都有如下性质：

直线l：Ax＋By＋C＝0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分，直线l的同一侧的点的坐标使式子Ax＋By＋C的值具有______的符号，并且两侧的点的坐标使Ax＋By＋C的值的符号______，一侧都大于0，另一侧都小于0.

在判断不等式Ax＋By＋C＞0(或Ax＋By＋C＜0)所表示的平面区域时，“代点法”无疑是快捷且准确的方法．即基本方法是“直线定界，特值定域”．其步骤：(1)画直线Ax＋By＋C＝0；(2)在直线的一侧任取一点P(x0，y0)，可取较特殊的点，易计算；(3)将P(x0，y0)代入Ax＋By＋C求值；(4)若Ax0＋By0＋C＞0，则此点所在的半平面为不等式Ax＋By＋C＞0所表示的平面区

域；反之此点所在的半平面不是不等式Ax＋By＋C＞0所表示的平面区域．

【做一做2－1】图中阴影部分表示的平面区域满足的不等式是(

)．

A．x＋y－1＜0 B．x＋y－1＞0 C．x－y－1＜0 D．x－y－1＞0 【做一做2－2】以下各点在3x＋2y＜6表示的平面区域内的是______．

①(0,0)；②(1,1)；③(0,2)；④(2,0)．

3．二元一次不等式组表示的平面区域

在平面直角坐标系中，二元一次不等式组表示的平面区域就是这个不等式组中每个二元一次不等式表示的平面区域的__________．

x＋y≥0，【做一做3】在平面直角坐标系中，不等式组x－y＋4≥0，x≤a面区域的面积是9，那么实数a的值为________．

(a为常数)表示的平

二元一次不等式表示的平面区域的判定方法

剖析：方法一：第一步，直线定边界，画出直线Ax＋By＋C＝0，当不等式中含有等号时，直线画成实线，否则画成虚线．

第二步，特殊点定平面区域，在坐标平面内取一个特殊点，当C≠0时，常取原点(0,0)．若原点满足不等式，则原点所在的一侧即为不等式表示的平面区域；若原点不满足不等式，则原点不在的一侧即为不等式表示的平面区域．当C＝0时，可考虑把点(1,0)或(0,1)作为测试点．

口诀如下：直线定界，特殊点定域．

方法二：Ax＋By＋C＞0，当B＞0时表示区域为直线上方区域；B＜0时为直线下方区域．

Ax＋By＋C＜0，当B＞0时表示区域为直线下方区域，当B＜0时为直线上方区域．概括为“B”与“不等号”同向在“上方”，“B”与“不等号”反向在“下方”．

平面内任意两点P(x1，y1)、Q(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧、异侧的充要条件：

由于直线同一侧的点的坐标(x，y)使Ax＋By＋C具有相同的符号，且一侧为正，另一侧必为负，因而直线同一侧的点使Ax＋By＋C的值的符号相同，直线不同侧的点使Ax＋By＋C的值的符号相反，因而我们有以下的结论：

P(x1，y1)，Q(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧⇔(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＞0；

P(x1，y1)，Q(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0异侧⇔(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＜0.

题型一

二元一次不等式表示平面区域

【例1】在平面直角坐标系中画出下列二元一次不等式表示的平面区域．

(1)x－y＋1＞0；

(2)x＋2y－4≤0.

分析：本题考查二元一次不等式表示的平面区域问题，先画出直线，再用特殊点确定不等式表示的平面区域．

反思：由于二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(或Ax＋By＋C＜0)表示的平面区域一定是直线Ax＋By＋C＝0的某一侧．要断定究竟是哪一侧，可以取直线Ax＋By＋C＝0某侧的一点，将它的坐标代入不等式，如果不等式成立，那么这一侧就是该不等式表示的平面区域；如果

不等式不成立，那么直线的另一侧就是该不等式表示的平面区域．如果直线不通过原点，一般取原点(0,0)来进行判断．

题型二

二元一次不等式组表示平面区域

【例2】画出不等式(x＋2y＋1)(x－y＋4)≤0表示的平面区域．

分析：此不等式为二元二次不等式，看似无从下手，注意到不等号右边为0，左边为两因式乘积，易联想到利用“两数相乘，异号得负”的法则，将其转化为两个二元一次不等式组．

反思：(1)画平面区域时作图要尽量准确，特别是画边界；(2)非二元一次不等式表示的平面区域问题往往等价转化为二元一次不等式(组)表示的平面区域问题．

题型三

求平面区域内的整点坐标

x>0，【例3】不等式组y>0，4x＋3y<12

表示的平面区域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)共有________个．

反思：求不等式组所表示的平面区域内的整点坐标常有两种方法：①先确定区域内横坐标的范围，确定x的所有整数值，通过x的值再确定y相应的整数值；②网格法求整点，此法关键是作图要准确．

题型四

二元一次不等式组表示的平面区域的面积问题

x＋y－1≥0，【例4】在平面直角坐标系中，若不等式组x－1≤0，ax－y＋1≥0积等于2，求a的值．

分析：

所表示的平面区域的面画出满足x＋y－1≥0和分析直线ax－画出不等式组表求出区域顶→→→x－1≤0的平面区域y＋1＝0的特征示的平面区域点的坐标→表示出区→建立方程求a的值

域面积题型

五易错辨析

x≥0，y≥0，【例5】画出不等式组2x＋y－6≥0，x＋2y－6≤0错解：如图所示的阴影部分．

表示的平面区域．

错因分析：不等式2x＋y－6≥0表示的平面区域是直线2x＋y－6＝0及其右上方的部分，

将(0,0)代入2x＋y－6，得－6＜0，所以原点不在不等式表示的平面区域内．

1已知一直线l的方程为ax＋by＝0(a，b不同时为零)，点P1(x0，y0)，P2(2x0,2y0)，则(

)．

A．点P1，P2分别在l的两侧或在l上

B．点P1，P2均在l的同侧或在l上

C．点P1，P2分别在l的两侧，不可能在l上

D．点P1，P2均在l上

x－y＋2不等式组0≤x≤3x＋y，

表示的平面区域是一个(

)．

A．三角形 B．直角梯形

C．梯形 D．矩形

3(x－2y＋1)(x＋y－3)＜0表示的平面区域为(

)．

4点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是______．

2x＋y≤2，5若不等式组y≥0，x＋y≤ax－y≥0，

表示的平面区域是一个三角形及其内部，则a的取值范围是______．

答案：

基础知识·梳理

1．(1)两

最高

1 (3)Ax＋By＋C＞0 Ax＋By＋C＜0 【做一做1－1】B 50x＋40y≤2 000，【做一做1－2】x∈N＋，y∈N＋

2．(1)开半平面

闭半平面

不等式表示的区域

不等式的图象

(2)相同

相反

【做一做2－1】B 【做一做2－1】①②③

3．公共部分

【做一做3】1 画出不等式组表示的平面区域如图，由题意，△ABC的面积为9，则|BC|1＝(a＋4)－(－a)＝2a＋4，A到直线BC的距离为a－(－2)＝a＋2，∴(a＋2)(2a＋4)＝9，2解得a＝1或－5(舍去)．

典型例题·领悟

【例1】解：(1)画出直线l1：x－y＋1＝0(虚线)，

取原点O(0,0)代入x－y＋1，得1＞0，不等式成立．

所以O(0,0)在x－y＋1＞0表示的平面区域内，

故x－y＋1＞0表示的平面区域就是直线l1右下方的区域．

画出区域如图(1)所示的阴影部分(不包括直线l1上的点)．

(2)画出直线l2：x＋2y－4＝0(实线)．

取原点O(0,0)代入x＋2y－4，得－4＜0，不等式成立．

所以x＋2y－4≤0表示的平面区域是直线l2及其左下方的区域．

画出区域如图(2)所示的阴影部分(包括直线l2上的点)．

【例2】解：此不等式可转化为

x＋2y＋1≥0，x＋2y＋1≤0，或

x－y＋4≤0x－y＋4≥0.分别画出这两个不等式组所表示的平面区域，这两个平面区域的并集即为所求的平面区域，如图所示(阴影部分)．

【例3】3 画出不等式组表示的平面区域，如图所示(阴影部分，不含x轴和y轴)．

从图形可以看出区域内点的横坐标在区间(0,3)内，取x＝1，2，当x＝1时，区域内的整点有(1,1)，(1,2)．当x＝2时，区域内的整点有(2,1)．共3个．

x＋y－1≥0，【例4】解：如图阴影部分为不等式组表示的平面区域．

x－1≤0

而直线ax－y＋1＝0恒过定点A(0,1)，斜率为a.

x＋y－1≥0，因为不等式组x－1≤0，ax－y＋1≥0

所表示的平面区域的面积等于2，所以此平面区域为“封闭”图形．

所以可判断直线ax－y＋1＝0与直线x－1＝0的交点C在点B(1,0)上方，

x＋y－1≥0，所以不等式组x－1≤0，ax－y＋1≥0ax－y＋1＝0，由x－1＝0，所表示的平面区域为△ABC.

得C(1，a＋1)．

又点C在点B上方，

∴a＞－1，所以|BC|＝a＋1－0＝a＋1，

1a＋1∴S＝×|BC|×1＝＝2，解得a＝3. 22【例5】正解：如图所示的阴影部分．

随堂练习·巩固

1．B 若ax0＋by0＝0，则2ax0＋2by0＝0，此时P1和P2都在直线l上，否则，一定有ax0＋by0与2ax0＋2by0同号，故选B. 2．C (x－y＋5)(x＋y)≥0

x－y＋5≥0，x－y＋5≤0，⇔或

x＋y≥0x＋y≤0.据题意作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示．故选C.

x－2y＋1>0，3．C 原不等式等价于不等式组x＋y－3<0

x－2y＋1<0，或x＋y－3>0.

分别画出各不等式组所表示的平面区域，观察其图象，知选C. 2224．(，＋∞)

据题意得不等式2×(－2)－3t＋6＜0，解得t＞.故t的取值范围是(，333＋∞)．

45．(0,1]∪[，＋∞)

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