3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义教学目标设计

3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义

教学目标

：

1、理解有关复数的概念；

2、掌握复数的几何意义及运算性质；

3、掌握复数与向量的联系。

教学重点：

复数的几何意义

教学难点：

复数与向量的综合应用

教学过程

一、新课导入

1．复数的有关概念

(1)复数的概念：

形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．

(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．

(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．

(4)复数的模：

向量OZ的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2. 2．复数的几何意义

(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．

平面向量OZ. (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)

3．复数的运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；

②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；

③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

z1a＋bia＋bic－di④除法：＝＝＝

z2c＋dic＋dic－di

ac＋bdbc－ad＋i(c＋di≠0)．

c2＋d2c2＋d2(2)复数加法的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

二、自主探究

1．(2015·全国卷Ⅰ)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝(

) A．－2－i

C．2－i 答案：C 2．(教材习题改编)如果(x＋y)＋(y－1)i＝(2x＋3y)＋(2y＋1)i，则x＝________，y＝________. 答案：4

－2 3．(教材习题改编)ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，则点D对应的复数为________．

答案：3＋5i

B．－2＋i

D．2＋i 三、精析点拨

y例1

已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝3，则的最大值为________．

x解析：∵|z－2|＝x－22＋y2＝3，

∴(x－2)2＋y2＝3. y3由图可知＝＝3. maxx1答案：3 例2

已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，若OC＝λOA＋μOB，(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．

解析：由条件得OC＝(3，－4)，OA＝(－1,2)，

OB＝(1，－1)，

根据OC＝λOA＋μOB得

(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，

－λ＋μ＝3，λ＝－1，∴解得

2λ－μ＝－4，μ＝2.

∴λ＋μ＝1.

答案：1 四、知能内化

1

已知复数z＝解析：∵z＝－31＋i，

44故z＝－31－i，

443131311＋i－－i＝16＋16＝4. 44443＋i－2，z是z的共轭复数，则z·z＝________. 1－3i3＋i3＋i3＋i3＋i1－3i23－2i＝＝＝＝＝

－81－3i2－2－23i－21＋3i－21＋3i1－3i∴z·z＝－1答案：

422 0161＋i62

已知i是虚数单位，＋1－i＝________. 1－i221 0081＋i621 00861 00864×2524＋2解析：原式＝＋＝－2i＋i＝i＋i＝i＋i＝1＋i2＝0. 1－i1－i答案：0 五、小结

(1)复数z、复平面上的点Z及向量OZ相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔

OZ. (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．

注意：在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．

(1)(1±i)2＝±2i；1＋i1－i＝i；＝－i；

1－i1＋i(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；

(3)i4n＝1，i4n1＝i，i4n2＝－1，i4n3＝－i，

＋＋＋i4n＋i4n1＋i4n2＋i4n3＝0，n∈N*. ＋＋＋六、作业

课时跟踪训练(二十六）