2.1.2 演绎推理全国优秀课堂实录

第35讲

合情推理与演绎推理

考纲要求

1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会合情推理在数学发现中的作用．

2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．

3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.

1．合情推理

(1)归纳推理

①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的！！！！__全部对象__####都具有这些特征的推理，或者由个别的事实概括出一般结论的推理．

②特点：是由！！！！__部分__####到！！！！__整体__####、由！！！！__个别__####到！！！！__一般__####的推理．

(2)类比推理

①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有！！！！__这些特征__####的推理．

②特点：是由！！！！__特殊__####到！！！！__特殊__####的推理．

2．演绎推理

(1)演绎推理

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由！！！！__一般__####到！！！！__特殊__####的推理．

(2)“三段论”是演绎推理的一般模式

①大前提——已知的！！！！__一般原理__####. ②小前提——所研究的！！！！__特殊情况__####. ③结论——根据一般原理，对！！！！__特殊情况__####做出的判断．

分值：5分

2017·全国卷Ⅱ，9 2016·北京卷，8 2015·江苏卷，11 2015·福建卷，15 考情分析

命题趋势

合情推理一般以新定义、新规则的形式考查集合、函数、不等式、数列等问题；而演绎推理常结合函数、方程、不等式、解析几何、；立体几何、数列等问题中的证明来考查.

1．思维辨析(在括号内打“√”或“”)．

(1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理．(

×

) (2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(

×

) (3)“所有3的倍数都是9的倍数，若数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(

√

) (4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(

×

) 解析

(1)错误．归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理．

(2)错误．平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适．

(3)正确．因为大前提错误，所以结论错误．

(4)错误．演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．

2．有段时间流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅”．结论显然是错误的，因为(

C

) A．大前提错误

C．推理形式错误

B．小前提错误

D．非以上错误

解析

推理形式不符合三段论推理的形式，三段论的形式是：M是P，S是M，则S是P，而上面的推理形式则是：M是P，S是P，则S是M.故选C．

3．数列2,5,11,20，x,47，…中的x＝(

B

) A．28

B．32

C．33

D．27 解析

由5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，

可知x－20＝12，因此x＝32. 4．给出下列三个类比结论：

①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；

②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；

③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. 其中结论正确的个数为(

B

) A．0

B．1

C．2

D．3 解析

只有③正确．

5．观察下列不等式：

171＋3＜，

2611291＋3＋3＜，

2324111491＋3＋3＋3＜，

23440

1111371＋3＋3＋3＋3＜，

234530…

1111126按此规律，第五个不等式为！！！！

1＋3＋3＋3＋3＋3<

####. 23456211714解析

1＋3<＝，

262×3×2112914＋3×51＋3＋3<＝，

23243×4×229＋4×511149491＋3＋3＋3<＝＝，

234404×5×24×5×249＋5×5111137741＋3＋3＋3＋3<＝＝，

2345305×6×25×6×21111174＋6×526照此规律可以得到1＋3＋3＋3＋3＋3<＝. 234566×7×2211111126所以第五个不等式为1＋3＋3＋3＋3＋3<. 2345621

一

类比推理

(1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．

(2)类比推理常见的情形有：平面与空间类比、低维与高维的类比、等差与等比数列类比、运算类比(加与乘、乘与乘方、减与除、除与开方)、数的运算与向量运算类比、圆锥曲线间的类比等．

a1＋a2＋…＋an【例1】

(1)若数列{an}是等差数列，则数列{bn}bn＝n也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为(

D

) c1＋c2＋…＋cnA．dn＝

nnnncn1＋c2＋…＋cnC．dn＝

nc1·c2·…·cnB．dn＝

nnD．dn＝c1·c2·…·cn

(2)在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为！！！！__1∶8__####. nn－1解析

(1)若{an}是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋d，

2

n－1dd∴bn＝a1＋d＝n＋a1－，即{bn}为等差数列；

222n(n-1)若{cn}是等比数列，则c1·c2·…·cn＝cnq11·nn(n-1)＋2＋…＋(n－1)＝cnq2

，

1·∴dn＝c1·c2·…·cn＝c1·q2

，即{dn}为等比数列．故选D．

(2)由平面图形的面积类比立体图形的体积得出：在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的底面积之比为1∶4，对应高之比为1∶2，所以体积比为1∶8. 二

归纳推理

归纳推理中几种问题的处理技巧

(1)与等式或不等式“共舞”问题．观察所给的几个等式或不等式两边式子的特点，注意是纵向看，发现隐含的规律．

(2)与数列“牵手”问题．先求出几个特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所含的范围，从而由特殊的结论推广到一般结论．

(3)与图形变化“相融”问题．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．

【例2】

观察下列等式：

12＝1，

12－22＝－3，

12－22＋32＝6，

12－22＋32－42＝－10，

…

＋＋nn＋1依此规律，第n个等式可为！！！！__12－22＋32－42＋…＋(－1)n1·n2＝(－1)n1·2__####. 解析

第n个等式的左边第n项应是(－1)n1n2，右边数的绝对值为1＋2＋3＋…＋n＝＋nn＋1＋＋nn＋1，故有12－22＋32－42＋…＋(－1)n1·n2＝(－1)n1·. 22【例3】

观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有！！！！__28__####个小正方形．

解析

第1～5个图形中分别有3,6,10,15,21个小正方形，它们分别为1＋2,1＋2＋3,1＋2＋3＋4,1＋2＋3＋4＋5,1＋2＋3＋4＋5＋6，因此an＝1＋2＋3＋…＋(n＋1)．

71＋7故a6＝1＋2＋3＋…＋7＝＝28，

2即第6个图中有28个小正方形．

三

演绎推理

演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题，应当首先明确什么是大前提和小前提，若大前提是显然的，则可以省略．

n＋2【例4】

数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝·Sn(n∈N*)，证明：

nSn(1)数列n是等比数列；

(2)Sn＋1＝4an. n＋2证明

(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝S，

nn∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn，

∴Sn＋1SnS1＝2·，又＝1≠0，(小前提) n1n＋1Sn故n是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论) (2)由(1)可知Sn＋1Sn－1＝4·(n≥2)，

n＋1n－1Sn－1n－1＋2∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1＝4an(n≥2)，(小前提) n－1n－1又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提) ∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论)

111131111．有下列各式：1＋＋＞1,1＋＋…＋＞，1＋＋＋…＋＞2，…，则按此规律232722315n＋1111可猜想此类不等式的一般形式为！！！！__1＋＋＋…＋n＋1>(n∈N*)__####. 232－12解析

观察前三个不等式，发现其左边最后一项的分母分别为3,7,15，故可猜想第n个n＋1234＋式子中应有2n1－1项，不等式右侧分别写成，，，故猜想第n个式子中应为，按2222n＋1111此规律可猜想此类不等式的一般形式为1＋＋＋…＋n＋1>(n∈N*)．

232－122．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照下面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为！！！！__6n＋2__####.

…

解析

由题意知，图②的火柴棒比图①的多6根，图③的火柴棒比图②的多6根，而图①的火柴棒的根数为2＋6，∴第n个“金鱼”图需要(2＋6n)根火柴棒．

3．在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α，β，则有cos2α＋cos2β＝1.类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则！！！！__cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2__####. 解析

设长方体的棱长分别为a，b，c，如图所示，所以AC1与下底面所成角为∠C1AC，记为α，AC1与平面A1D1DA所成的角记为β，AC1与平面A1B1BA所成的角记为γ，

a2＋b2AC2所以cosα＝2＝222，

AC1a＋b＋c2a2＋c2同理cosβ＝2，

a＋b2＋c22b2＋c2cosγ＝2，

a＋b2＋c22所以cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2. f2f4f6f2 0184．若f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N*)，且f(1)＝2，则＋＋＋…＋＝！！！！f1f3f5f2 017__2 018__####. 解析

利用三段论．

因为f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N*)，(大前提) fa＋1令b＝1，则＝f(1)＝2，(小前提) faf2f4f2 018所以＝＝…＝＝2.(结论) f1f3f2 017

易错点

类比不当

错因分析：从平面类比到空间时，缺乏对对应特点的分析，无法得到正确结论．

111【例1】

在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：2＝2＋2，那么在四ADABAC

面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．

解析

如图(1)所示，由射影定理知AD2＝BD·DC，

AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，

∴11

2＝ADBD·DCBC2BC2＝＝. BD·BC·DC·BCAB2·AC2AB2＋AC2111又BC＝AB＋AC，∴2＝，

22＝2＋ADAB·ACABAC2222∴111. 2＝2＋ADABAC2在四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD于E，

则1111. 2＝2＋2＋AEABACAD2证明如下：如图(2)，连接BE交CD于点F，连接AF. ∵AB⊥AC，AB⊥AD，

∴AB⊥平面ACD.而AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF. 111在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴2＝2＋2. AEABAF在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴1111. 2＝2＋2＋AEABACAD2111. 2＝2＋AFACAD2【跟踪训练1】

我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2＋b2＝c2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O－ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，S为顶点O所对面的面积，S1，S2，S3分别为侧面△OAB，△OAC，△OBC的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为(

A

) 22A．S2＝S21＋S2＋S3

111B．S2＝2＋2＋2

S1S2S3111D．S＝＋＋

S1S2S3C．S＝S1＋S2＋S3

解析

如图，作OD⊥BC于点D，连接AD，由立体几何知识知，AD⊥BC，从而S2＝11211222222221BC·1OB·2AD2＝BC2·AD＝BC·(OA＋OD)＝(OB＋OC)·OA＋BC·OD＝242OA＋4441221OC·OA2＋BC·OD2＝S21＋S2＋S3. 22

课时达标

第35讲

[解密考纲]高考中，归纳推理和类比推理主要是和数列、不等式等内容联合考查，多以选择题和填空题的形式出现．

一、选择题

1．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是(

B

) A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数

B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数

C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数

D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数

解析

对于A项，小前提与结论颠倒，错误；对于B项，符合演绎推理过程且结论正确；对于C项，大小前提颠倒；对于D项，大小前提以及结论颠倒．故选B．

2．请仔细观察1,1,2,3,5，(

)，13，运用合情推理，可知写在括号里的数最可能是(

A

) A．8

B．9

C．10

D．11 解析

观察题中所给各数可知，2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3,8＝3＋5,13＝5＋8，∴括号中的数为8.故选A．

3．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：

①2 018∈[3]；

②－2∈[2]；

③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；

④整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a－b∈[0]”．

其中正确结论的个数为(

C

) A．1

B．2

C．3

D．4 解析

因为2 018＝403×5＋3，所以2 018∈[3]，①正确；－2＝－1×5＋3，－2∈[3]，所以②不正确；因为整数集中被5除的数可以且只可以分成五类，所以③正确；整数a，b属于同一“类”，因为整数a，b被5除的余数相同，从而a－b被5除的余数为0，反之也成立，故整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a－b∈[0]”，故④正确．所以正确的结论有3个．故选C．

4．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3, (cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝(

D

) A．f(x)

B．－f(x) C．g(x)

D．－g(x) 解析

由所给等式知，偶函数的导数是奇函数．

∵f(－x)＝f(x)，

∴f(x)是偶函数，从而g(x)是奇函数．

∴g(－x)＝－g(x)．

5．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：“你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩”．看后甲对大家说：“我还是不知道我的成绩”．根据以上信息，则(

D

) A．乙可以知道四人的成绩

C．乙、丁可以知道对方的成绩

B．丁可以知道四人的成绩

D．乙、丁可以知道自己的成绩

解析

依题意，由于甲看后还是不知道自己的成绩，说明乙、丙两人必是一个优秀、一个良好，则甲、丁两人必是一个优秀、一个良好，因此乙看了丙的成绩就可以知道自己的成绩，丁看了甲的成绩就清楚了自己的成绩，综合以上信息可知，乙、丁可以知道自己的成绩．故选D．

6．已知an＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，观察下列运算：

lg 3lg 4a1·a2＝log23·log34＝·＝2；

lg 2lg 3lg 3lg 4lg 8a1·a2·a3·a4·a5·a6＝log23·log34·…·log78＝··…·＝3；…. lg 2lg 3lg 7若a1·a2·a3·…·ak(k∈N*)为整数，则称k为“企盼数”，试确定当a1·a2·a3·…·ak＝2 019时，“企盼数”k为(

C

) A．22 019

＋2

B．22 019 C．22 019－2

D．22 019－4 lgk＋2解析

a1·a2·a3·…·ak＝＝2 019，lg(k＋2)＝lg 22 019，故k＝22 019－2. lg 2二、填空题

1311511177．观察下列式子：1＋2<，1＋2＋2<，1＋2＋2＋2<，…，根据上述规律，第n222332344

2n＋1111个不等式应该为！！！！__1＋2＋2＋…＋＜__####. 23n＋12n＋111解析

不等式的左边为连续自然数的平方的倒数和，即1＋2＋…＋，不等式的2n＋122n＋12n＋1111右边为，所以第n个不等式应该为1＋2＋2＋…＋. 2＜23n＋1n＋1n＋18．观察下列等式：

1＝1；

2＋3＋4＝9；

3＋4＋5＋6＋7＝25；

4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49；

…

照此规律，第n个等式为！！！！

n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2

####. 解析

观察这些等式，第一个等式左边是1个数，从1开始；第二个等式左边是3个数相加，从2开始；第三个等式左边是5个数相加，从3开始；……；第n个等式左边是2n－1个数相加，从n开始．等式的右边为左边2n－1个数的中间数的平方，故第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2. 9．设等差数列{an}的前n项和为

Sn，则

S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类T8比以上结论我们可以得到一个真命题为：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则！！！！

T4，，T4T12T16，

####成等比数列．

T8T12解析

利用类比推理把等差数列中的差换成商即可．

三、解答题

ax＋axax－ax10．设f(x)＝

，g(x)＝

(其中a＞0，且a≠1)．

22－－(1)由5＝2＋3请你推测g(5)能否用f(2)，f(3)，g(2)，g(3)来表示；

(2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．

a3＋a3a2－a2a3－a3a2＋a2a5－a5解析

(1)由于f(3)g(2)＋g(3)f(2)＝·＋·＝，

22222－－－－－a5－a5又g(5)＝，

2－因此g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)．

(2)由g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)，

即g(2＋3)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)，

于是推测g(x＋y)＝f(x)g(y)＋g(x)f(y)．

ax＋axax－ax证明：因为f(x)＝，g(x)＝，

22－－axy－a所以g(x＋y)＝2＋－x＋yay－ayay＋ay，g(y)＝，f(y)＝，

22－－－－－－＋－x＋yax＋axay－ayax－axay＋ayaxy－a所以f(x)g(y)＋g(x)f(y)＝·＋·＝22222＝g(x＋y)．

11．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5. (1)求a18的值；

(2)求该数列的前n项和Sn. 解析

(1)由等和数列的定义，数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5，易知a2n－1＝2，a2n＝3(n＝1,2，…)，故a18＝3. (2)当n为偶数时，

Sn＝a1＋a2＋…＋an

＝(a1＋a3＋…＋an－1)＋(a2＋a4＋…＋an) ＝2＋2＋…＋n个22＋3＋3＋…＋n个33

225＝n. 2当n为奇数时，

551Sn＝Sn－1＋an＝(n－1)＋2＝n－. 222综上所述，S＝512n－2，n为奇数.n5n，n为偶数，2

12．对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何—个三次函数都有“拐点”；任何—个三次函数都有115对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f(x)＝x3－x2＋3x－，请你根据这一发现，解3212决下列问题．

115(1)求函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心；

32121232 016. (2)计算f＋f＋f＋…＋f2 0172 0172 0172 017解析

(1)f′(x)＝x2－x＋3，f″(x)＝2x－1，

1由f″(x)＝0，即2x－1＝0，解得x＝. 2111311215f＝×－×＋3×－＝1. 232222121115由题中给出的结论，可知函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心为2，1. 32121115(2)由(1)知函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心为2，1，

321211所以f2＋x＋f2－x＝2，

即f(x)＋f(1－x)＝2. 12 016故f2 017＋f2 017＝2，

22 015f2 017＋f2 017＝2，

32 014f2 017＋f2 017＝2，

…

2 0161f2 017＋f2 017＝2，

1232 016＝1×2×2 016＝2 016. 所以f＋f＋f＋…＋f2 0172 0172 0172 0172