小结教学设计实例

普通高中数学课程标准实验教科书

——（必修5 数学 人教A版）

第三章 不等式小节课

“基本不等式”教学设计

2018年5月

施淑芳内蒙古巴彦淖尔市磴口县磴口一中

第三章不等式小结(二)-----基本不等式的教学设计

一 教学内容解析

本节选自人教版必修五的第三章第四节，它是在学生学习完“不等式的性质”、“一元二次不等式及其解法”及“二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题”的基础上对不等式的进一步研究。在应用的过程中，通过对条件的转换和变式，有助于培养学生形成类比归纳的思想和习惯，进而形成严谨的思维方式。

二 学习目标：

1、知识与能力目标：掌握基本不等式及会应用基本不等式求最值. 2、过程与方法目标：体会基本不等式应用的条件：一正二定三相等；体会应用基本不等式求最值问题解题策略的构建过程；体会习题的改编过程. 3、情感态度与价值观目标：通过解题后的反思，逐步培养学生养成解题反思的习惯；通过变式练习，逐步培养学生的探索研究精神. 三

学习重点、难点：

重点：基本不等式在解决最值问题中的应用. 难点：利用基本不等式失效（等号取不到）的情况下采用函数的单调性求解最值. 四

学情分析

本班学生整体数学水平比较差，尽管是一节小节课，内容已经就讲过，但是针对学生具体情况，在本节课的具体设计上，还是很注重基础，通过一些简单题，能让学生掌握如何应用基本不等式，以及它所具备的三个条件，通过变式练习，使学生掌握。

五

学法指导：

基本不等式是求最值问题中的一种很重要的方法，但学生在运用过程中“一正、二定、三相等”的应用条件一方面容易被忽视，另一方面某些问题看似不符合前面的三个条件，但经过适当的变形又可以转化成运用基本不等式的类型学生解决起来有一定的困难。在本节小节课中，结合学生的实际编制了教学案，力求在学生的“最近发展区”设计问题，逐步启发、引导学生课前自主预习、小组合作学习. 六

教学策略分析

在教学过程中学生往往会直接应用不等式而忽略成立的条件，因此本节课的重点内容是对基本不等式的理解和运用。在运用过程中生成的规律，在学生做题时能灵活运用是难点，因此理解基本不等式和灵活应用基本不等式十本节课难点

七

学习过程：

先给出了本章的知识框架，然后引出本节课要学的内容

【知识要点】

1、基本不等式

(1)

重要不等式:如果a,b

,那么

+

2ab.当且仅当a=b时,等号成立. 变形公式: (2)基本不等式: 如果a,b>0.那么

当且仅当

时

等号成立

可以表述为两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 变形公式: 变形公式: 【题型探究】

探究一：利用基本不等式求最值：

例1：（1）x,y

,x+y=S（和为定值），则当x=y时，积xy取得最大值 ；

（2）x,y

, xy=P（积为定值），则当x=y时，和x+y取得最小值

即：和定，积 ；积定，和 。

基本不等式在求最值中的应用的条件：

①各项皆为正数； 一“正”

②和为定值或积为定值；二“定”

ab 积定和最小

abab2ab

2

abab2abab() 和定积最大 22

③注意等号成立的条件 .三“等”

变式训练：

ba(1) 已知ab>0,求证：

2

ab

（2）已知x

，求 x + 的最小值；

(3）已知0

，求函数f(x)=x(8-3x)的最大值；

（4）已知x>0，y>0，且log3xlog3y1，则+1x1的最小值是

. y

2x8（5）函数y= 的最小值为

x24

(x5)(x2)（6）设x>-1，则函数y=的最小值为

. x1

小结：

凑定值的技巧

①凑项 ②凑系数 ③分离 ④整体代换

设计意图：通过变式练习，使学生掌握应用不等式求最值的三个条件，尤其是在求定值时常用到的一些方法，更需学生牢固掌握。

探究二：“1”的妙用

（1）已知x0,y0,且x2y1,则

49变式练习2：（1）已知x

，

，且 1，求x+y的最小值xy

11的最小值 xy（2）当点(x，y)在直线x+3y-4=0上移动时，求3x27y2的最小值；

小结: 1.已知a,b,x,yR，若axby1则有

1111byax(axby)()abab2ab(ab)2

xyxyxyab2.已知a,b,x,yR，若1则有

xy

abaybx2xy(xy)()abab2ab(ab)xyxy设计意图：使学生体会到数学中整体代换的思想。

小结; 1.基本不等式（也称均值定理）具有将“和式”，“积式”相互转化的功能，应用比较广泛，为了用好该不等式，首先要正确理解该不等式中的三人条件（三要素）正（各项或各因式为正值）、定（“和”或“积”为定值）、等（各项或各因式都能取得相等的值，即具备等号成立的条件），简称“一正，二定，三相等”，这三个条件缺一不可，当然还要牢记结论：和定，积最大；积定，和最小。但是在具体问题中，往往所给的条件并非“标准”的“一正，二定，三相等”，（或隐藏在所给条件中），所以要对各项或各式作适应的变形，通过凑，拆，添项等技巧，对“原始”条件进行调整、转化，使其符合标准的正、定、等。如果等号在变形的时候不成立，这时可以改用“对勾函数”来解决不能应用基本不等式求解的情形。

反思感悟

作业 优化设计P102 双基自测

板书设计

一

重要不等式

二

基本不等式

教学反思

上完这节课后，我对教学过程和教学设计进行了反思，得到以下几点：

教学中的优点：

1.课题的引入

再发给学生的学案中，首先让学生对本章内容总体上有个认识，善后对本节的基础知识尽心了梳理，让学生通过回答，回忆起本节的常用公式和变形公式，为后面的探究打好基础。

2.知识点的归纳

通过探究体现出和定积最大，积定和最小，让学生归纳出基本不等式求最值的三个条件，为后面的做题埋下伏笔。

3.课堂练习

在组织课堂练习的过程中，我先选了三个基础薄弱的学生先来了一组直接用基本不等式就可解决问题的一组题目，然后根据题的特点又选了四名学生（基础好的）所做的题，集中要体现的是凑定值中所要强调的技巧，让同学们能有所感悟。

4.学生扮演

本班学生由于数学基础不太好，课堂上不怎么爱表现，所以尽可能提供平台让学生能够积极地参与进来，让学生有展示的机会。

教学中的不足

本节课尽管提前发下去了学案，但是学生完成的不够好，尽管学过，但是感觉学生对部分内容比较生疏。课堂上没有调动起学生的积极性，课堂气氛比较沉闷，自己显得有些紧张，该让学生总结的，没有给学生机会。