信息技术应用 用Excel解线性规划问题举例教案设计（一等奖）

3.3.2 简单线性规划问题

一．教材分析： “简单的线性规划”是在学生学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用。线性规划是利用数学为工具，来研究在有限资源的条件下，如何精巧安排，取得最大的经济效益.这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣和应用数学的意识和解决实际问题的能力. 二．教学目标

1.掌握线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能运用线性规划问题的图解法解决一些简单的实际问题；

2.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力；

3.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新. 三．教学重难点

1.理解目标函数是一组平行线，通过平移寻找最优解。

2.目标函数由原来的一元函数变为二元函数，理解较为困难。

四．教学过程

（一）．导入新课

1．复习如何确定二元一次不等式Ax+By+C＞（或≥）0表示的平面区域？（线定界，点定域）（或使用不等号的方向来确定位置）

2.生活中经常遇到资源安排问题，如何使用有限的资源产生最大的效益是我们接下来要研究的课题。

（二）．新课探究

1.例1，某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1小时，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2小时，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8小时计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？设甲、乙两种产品分别生产x、y件，应如何列式？

1

x2y8,4x16,解：由已知条件可得二元一次不等式组：4y12,

x0,y0.将上述不等式组表示成平面上的区域得：

图中阴影部分中的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排，即当点P（x,y）在上述平面区域中时，所安排的生产任务x、y才有意义. 问题：若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？

这样，上述问题就

设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得利润为z，则Z转化为：当x、y满足上述不等式组并且为非负整数时，z的最大值是多少？2121把z=2x+3y变形为yxz,这是斜率为，在y轴上的截距为z的直线.当z变化时3333可以得到什么样的图形？（当z变化时可以得到一组互相平行的直线）.（板演）

由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点〔例如（1，2）〕，就能确定一条直线2

21yxz，这说明，截距z3可以由平面内的一个点的坐标唯一确定.可以看到直线3321zyxz与表示不等式组的区域的交点坐标满足不等式组，而且当截距最大时，z取最33321大值，因此，问题转化为当直线yxz与不等式组确定的区域有公共点时，可以在区域33z内找一个点P，使直线经过P时截距最大

3

21由图可以看出，当直线yxz经过直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M（4，2）时，33z14截距最大，最大值为.此时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂33可获得最大利润14万元

知识归纳：

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数z=2x+y在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题

那么，满足线性约束条件的解（x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（4，2）使目标函数取得最大值，它们都叫做这个问题的最优解. 等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.Z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数.由于t=2x+y又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函3

数

问题拓展：

（1）上述问题中，如果每生产一件甲产品获利1万元，每生产一件乙产品获利3万元，又应当如何安排生产？

（2）由上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？

最优解一定在可行域的范围之内,最优解是可行域范围内的最理想的结果.在相同的可行域之内,根据不同的目标最优解是不同的. 2.知识拓展：

问题：

x4y3,若设Z=2x+y，式中变量x、y满足下列条件3x5y25,求Z的最大值和最小值x1.

分析：从变量x、y所满足的条件来看，变量x、y所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域ABC. 作一组与直线l0平行的直线：l:2x+y=Z,，从而观察Z值的变化：Z=2x+y∈［3,12］

(1) 从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当x=0，y=0时，Z=2x+y=0.点（0，0）在直线l0：2x+y=0上.作一组与直线l0平行的直线（或平行移动直线l0)l:2x+y=Z,Z可知，当l在l0的右上方时，直线l上的点（x,y)满足2x+y＞0,即Z＞而且，直线l往右平移时，Z随之增大（引导学生一起观察此规律）

在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点C（5，2）的直线所对应的Z最大，以经过点A（1，1）的直线l1所对应的t最小.所以4

Zmax=2×5+2=12,Z

(2) （三）课堂小结

用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：

1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）2.设Z=0，画出直线l0

3.观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解4.最后求得目标函数的最大值及最小值. （四）布置作业

1.

课本91页练习1. 2.

预习创新例2 5