2.基本不等式课件配套优秀公开课教案设计

基本不等式

知识梳理：

1、基本不等式

(1)重要不等式:如果a,b ,那么+2ab.当且仅当a=b时,等号成立. (2)基本不等式: 如果a,b>0.那么可以表述为两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2、重要结论：

（1）a+2 （a）1

（2）a+2（a）1

（3）、

（4）、+ab+bc+ca

（5）、

（ a,b>0.）

（6）、

+

3、如果a,b ,那么(不等式证明选讲内容) 4、推广：对于n个正数它们的算术平均数不小于它们的几何平均数.即二、题型探究

探究一：利用基本不等式求最值：

例1：

（1）x,y ,x+y=S（和为定值），则当x=y时，积xy取得最大值

；

（2）x,y , xy=P（积为定值），则当x=y时，和x+y取得最小值2

即：和定，积最大；积定，和最小。

应用基本不等式的条件：

（1）、一正：各项为正数；

（2）、二正：“和”或“积”为定值；

（3）、三等：等号一定能取到，这三个条件缺一不可。

例2：解答下列问题

（1）

已知x

，求x+

的最小值；

（2）

已知0

，求函数f(x)=x(8-3x)的最大值；

（3）

求函数y=

（4）

已知x

，且x+y=1，求+。

探究二：基本不等式的实际应用

在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：

（1）、先理解意，设变量时一般把要求的最值的变量定为函数；

（2）、建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；

（3）、在定义域内，求出函数的最值；

（4）、正确写了答案。

例3：

某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过a米，房屋正面的造价为400元/ 平方米,房屋侧面的造价为150元/ 平方米,屋顶和地面的造价费用合计5800元，如果墙高为3米，且不房屋背面的费用。

（1）、把房屋总选价y表示为x的函数，并写出该函数的定义域；

（2）、当侧面的长度为多少时？房屋的总造价最低，最低造价是多少？

三、方法提升

基本不等式（也称均值定理）具有将“和式”，“积式”相互转化的功能，应用比较广泛，为了用好该不等式，首先要正确理解该不等式中的三人条件（三要素）正（各项或各因式为正值）、定（“和”或“积”为定值）、等（各项或各因式都能取得相等的值，即具备等号成立的条件），简称“一正，二定，三相等”，这三个条件缺一不可，当然还要牢记结论：和定，积最大；积定，和最小。但是在具体问题中，往往所给的条件并非“标准”的“一正，二定，三相等”，（或隐藏在所给条件中），所以要对各项或各式作适应的变形，通过凑，拆，添项等技巧，对“原始”条件进行调整、转化，使其符合标准的正、定、等。如果等号在变形的时候不成立，这时可以改用“对勾函数”来解决不能应用基本不等式求解的情形。

四、反思感悟

五、课时作业

111．(2009年高考重庆卷)已知a>0，b>0，则＋＋2ab的最小值是(

) abA．2 B．22 C．4 D．5 a＝b，112解析：选C.∵＋＋2ab≥＋2ab≥22×2＝4.当且仅当ababab＝1即a＝b＝1时，不等式取最小值4. t2→2．设点P(＋，1)(t>0)，则|OP|(O为坐标原点)的最小值是(

) 2tA．3 B．5 C.3 D.5

[

时，等号成立，→解析：选D.由已知得|OP|＝t22(＋)＋1≥2t(2t22×)＋1＝5，当t＝2时取得等号．

2t1113．(原创题)若a>0，b>0，a，b的等差中项是，且α＝a＋，β＝b＋，则α＋β的最2ab小值为(

) A．2 B．3 C．4 D．5 1111解析：选D.因为a＋b＝1，所以α＋β＝a＋＋b＋＝1＋＋

ababbaabab4．若a＋b＝2，则3＋3的最小值是(

) ＝1＋1＋＋1＋≥5，故选D. 4A．18 B．6 C．23 D．23 ababa＋b解析：选B.3＋3≥23·3＝23＝6. 115．已知x<，则函数y＝2x＋的最大值是(

) 22x－1A．2 B．1 C．－1 D．－2 111解析：选C.y＝2x＋＝－[(1－2x)＋]＋1，由x<可得1－2x>0，

2x－11－2x211根据基本不等式可得(1－2x)＋≥2，当且仅当1－2x＝即x＝0时取等号，则ymax1－2x1－2x＝－1.正确答案为C.

11ab6．(2009年高考天津卷)设a>0，b>0，若3是3与3的等比中项，则＋的最小值为(

) ab1A．8 B．4 C．1 D.

4aba＋b解析：选B.由题意知3·3＝3，即3＝3，所以a＋b＝1.因为a>0，b>0，

1111baba所以＋＝(＋)(a＋b)＝2＋＋≥2＋2·＝4，

ababab当且仅当a＝b时，等号成立．

7．在面积为S(S为定值)的扇形中，当扇形中心角为θ，半径为r时，扇形周长最小，这时θ，r的值分别是(

) 4A．θ＝1，r＝S B．θ＝2，r＝S

3C．θ＝2，r＝S D．θ＝2，r＝S

12SS2解析：选D.S＝θr⇒θ＝2，又∵扇形周长P＝2r＋θr＝2(r＋)≥4S，

2rr∴当P最小时，r＝⇒r＝S，此时θ＝2. 41228．已知圆x＋y＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)对称，则＋的最小abSrab值是(

) A．4 B．6 C．8 D．9 解析：选D.由圆的对称性可得，

直线2ax－by＋2＝0必过圆心(－1,2)，

414(a＋b)a＋b4ba4ba4ba所以a＋b＝1.所以＋＝＋＝＋＋5≥2·＋5＝9，当且仅当＝，ababababab即a＝2b时取等号，故选D. 39．已知0

4333452解析：因为00，所以y＝5x(3－4x)＝20x(－x)≤20()＝，

444163345当且仅当x＝－x，即x＝时等号成立．答案：

481610.如下图，某药店有一架不准确的天平(其两臂长不相等)和一个10克的砝码，一个患者想要买20克的中药，售货员先将砝码放在左盘上，放置药品于右盘上，待平衡后交给患者；然后又将砝码放在右盘上，放置药品于左盘上，待平衡后再交给患者．设患者一次实际购买的药量为m(克)，则m________20克．(请选择填“>”或“<”或“＝”)

x＋－x34210a＝m1b，解析：设两次售货员分别在盘中放置m1、m2克药品，则10b＝m2a，m＝m1＋m2，

前两个式子相乘，得100ab＝m1m2·ab，得m1m2＝100，因为m1≠m2，所以m＝m1＋m2>2m1m2＝20，所以填“>”．答案：>

1a11．已知不等式(x＋y)(＋)≥9对任意的正实数x、y恒成立，求正数a的最小值．解：xy1aaxy∵(x＋y)(＋)＝1＋＋＋a≥a＋1＋2a(a>0)，∴要使原不等式恒成立，

xyyx则只需a＋1＋2a≥9，即(a－2)(a＋4)≥0，故a≥2，即a≥4，∴正数a的最小值是4.

→→12.已知M是△ABC内的一点，且AB·AC＝23，∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA和△MAB的114面积分别为，x，y，则＋的最小值是(

) 2xyA．20 B．18 C．16 D．9 11→→解析：选B.由已知得AB·AC＝bccos∠BAC＝23⇒bc＝4，故S△ABC＝x＋y＋＝bcsinA＝12211414⇒x＋y＝，而＋＝2(＋)×(x＋y) 2xyxyy4x＝2(5＋＋)≥2(5＋2y4x×)＝18，故选B. xyxy13．设x>1，y>1，且lg(xy)＝4，则lgx·lgy的最大值为________．

解析：∵x>1，y>1，∴lgx>0，lgy>0，

2lgx＋lgy2lg(xy)∴lgx·lgy≤()＝＝4(当且仅当lgx＝lgy＝2，即x＝y＝100时取等号)，24∴当x＝y＝100时，lgx·lgy有最大值4.答案：4 14．设正数a，b满足条件a＋b＝3，则直线(a＋b)x＋aby＝0的斜率的取值范围是________．

a＋b33234解析：由k＝－＝－，3＝a＋b≥2ab，∴ab≤()，∴k＝－≤－. abab2ab34答案：(－∞，－] 315．当a>0，a≠1时，函数f(x)＝loga(x－1)＋1的图象恒过定点A，若点A在直线mx－ymn＋n＝0上，则4＋2的最小值是________．

mnmn2m＋n解析：A(2,1)，故2m＋n＝1.∴4＋2≥24·2＝22＝22. 11mnmn当且仅当4＝2，即2m＝n，即n＝，m＝时取等号．∴4＋2的最小值为22. 24答案：22 316．(1)设0

2(2)已知x，y都是正实数，且x＋y－3xy＋5＝0，求xy的最小值．

3解：(1)∵00. 22x＋(3－2x)29∴y＝4x·(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2[]＝. 22333当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．∵∈(0，)，

44239∴函数y＝4x(3－2x)(0

39

525等号成立的条件是x＝y.此时x＝y＝，故xy的最小值是. 39y＝10800225225560＋48x＋＝560＋48(x＋)．当x＋取最小值时，y有最小值．

xxx225∵x>0，∴x＋≥2xx·225225＝30，当且仅当x＝，

xx即x＝15时，上式等号成立．

所以当x＝15时，y有最小值2000元．

因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最小．

t18.已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律是：θ＝m·21－t＋2(t≥0，并且m>0)．

(1)如果m＝2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度；

(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．

t1－tt2ttt解：(1)依题意可得5＝2·2＋2，即2·(2)－5·2＋2＝0.亦即(2·2－1)(2－2)＝0，t又∵t≥0，得2＝2，∴t＝1. 故经过1分钟该物体的温度为5摄氏度．

t1－t(2)法一：问题等价于m·2＋2≥2(t≥0)恒成立．

t1－tt－t∵m·2＋2＝m·2＋2·2≥22m，

①

11t－t∴只需22m≥2，即m≥.当且仅当·2＝2·2，

221即t＝1时，①式等号成立，∴m的取值范围是[，＋∞)．

2t1－t法二：问题等价于m·2＋2≥2(t≥0)恒成立，

1211－t1－2t－t－t2－t即m≥2－2＝2[2－(2)]＝－2(2－)＋(t≥0)恒成立．

221－t－t∵t≥0，∴0<2≤1，当2＝，即t＝1时，

212111－t－2(2－)＋有最大值.∴m的取值范围是[，＋∞)．

2222