复习参考题优质课一等奖

课题：基本不等式(一)

学情分析：

本节课是一堂高三一轮复习课。本班大部分学生对基础知识的掌握还可以，但还有少部分学生基础较差，需要更进一步的学习基础知识；有些学生思维较活跃，能够较好的掌握所学的内容，但处理、分析问题的能力还有待提高。特别是在用基本不等式解决最值时，学生往往容易忽视基本不等式使用的前提条件和等号成立的条件，因此，在教学过程中，应借助辨误的方式让学生充分领会基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用.

教学目标：

1.知识与技能

使学生进一步掌握算术平均数与几何平均数的相关知识，能利用基本不等式解决相关问题；

2.过程与方法

通过对基本不等式的应用的研究，渗透“转化”的数学思想，提高学生运算能力和逻辑推理能力．

3.情感态度与价值观

在学习和解决问题的过程中，帮助学生养成良好的学习习惯，形成积极探索的态度，培养学生严谨的科学态度及良好的思维习惯，

形成积极探索的研究态度．

教学重点和难点：

重点：应用基本不等式求函数的最大、最小值；

难点：基本不等式使用的条件．

教学工具：幻灯片，展示台，计算机辅助教学

教学方法：

1、教法

本节课使用幻灯片，展示台及计算机进行直观演示.采用复习回顾的方式引出本节课的知识，然后通过典例分析总结归纳出三种类型。课堂上主要采取对比分析；让学生边议、边评；组织学生学、思、练。通过师生和谐对话,使情感共鸣，让学生的潜能、创造性最大限度发挥，使认知效益最大。让学生爱学、乐学、会学、学会。

2、学法

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为更好的贯彻课改精神,合理的对学生进行素质教育,在教学中,始终以学生主体，教师为主导.因此我在教学中让学生从不同角度去观察、分析,

创造机会让学生合作、探究，交流，并指导学生解决问题，感受知识的形成过程,培养学生观察和分析问题的能力，让学生学会学习。

教学过程：

教师活动：首先我们来看看基本不等式在高考中的地位：

考情分析：

基本不等式是每年高考必考的知识点之一，考查重点是利用基本不等式求最值，利用基本不等式解决实际问题． 题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中、低档题．客观题突出“小而巧”，主要考查基本不等式取等号的条件及运算能力；主观题考查较为全面，在考查基本运算能力的同时，又注重考查学生的逻辑推理能力及等价转化、分类讨论等思想方法．

教师先通过幻灯片抛出几个问题：

1.基本不等式的表达形式是什么？

2. 需要注意哪些条件？

3.如何用基本不等式求最值？

然后根据这几个问题引入本节课的内容-----基本不等式，再由师生一起回顾知识点，也即考点梳理。

（师生活动：教师边展出幻灯片学生边回答）

一、考点梳理：

1．基本不等式ab≤a＋b

2

(1)基本不等式成立的条件：

a>0,b>

0

．

(2)等号成立的条件：当且仅当

a=b

时等号成立．

a＋b(3)其中称为正数a，b的

算术平均数

，ab称为正数a，b的

几何2平均数

．

2．利用基本不等式求最大、最小值问题要注意：一正二定三相等

(1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)．

那么当

x=y

时，x＋y有最小值__2xy____.(简记：“_积定和最小__________”) (2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)．

x+y那么当_x=y_____时，xy有最大值______ (简记：“__和定积最大_________”) 2教师强调：“一正”是指x，y均为正实数；“二定”是指积为定值时和有最小值，和为定值时积有最大值；“三相等”是指当且仅当x=y时等号成立。

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3．常用不等式

(1)a2＋b2≥ 2ab

(a，b∈R)．

a＋b2(2)ab≤()(a，b∈R)．

2a＋b2a2＋b2(3)()≤(a，b∈R)．

22ba(4)＋≥2

(ab＞0)．

aba＋b(5)≤ab≤≤

112＋ab2a2＋b2(a＞0，b＞0)．

2a＋b教师强调：除了基本不等式之外，

a2＋b2≥ 2ab

(a，b∈R) 和(2)2≤a2＋b2(a，b∈R)也经常用于求最值和大小的判定。

2设计意图：通过这个环节，优化数学知识结构，从整体上学习数学，同时起到复习及巩固所学知识的作用。

二、应用举例：

类型一 直接利用基本不等式求最值

1例1:（1）求函数f(x)x(x0)的最小值.

x（2）已知正数a，b满足a+b=4，求ab的最大值.

师生活动：教师展出幻灯片，给学生两分钟思考并解答，然后叫一位同学上台把他书写的答案在展示台上展出，并大声讲给台下的学生听，教师予以肯定并点评，学生在讲解过程中出现的问题，教师应指出并订正，提示学生要注意。

教师特别强调：（1）中积为定值，（2）中和为定值。

设计意图：

（1）此例题利用基本不等式求最值，包含正用，逆用，体现了基本不等式的应用价值；

（2）强调利用不等式求最值的关键点：“正”“定”“等”；

（3）有利于培养学生独立思考能力以及表达能力。

变式：下列函数中，最小值为22的是____C__________.

A．yx2

x

B．ysinx2(0x)

sinxC．yex2ex

D．ylog2x2logx2

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学生活动：给出1分钟时间学生思考，然后找一个学生站起来回答，并说出理由。

教师活动：对学生的回答给予点评，正确的予以肯定，错误的予以纠正。

设计意图：（1）通过这个变式题，进一步地让学生认识到运用基本不等式求最值；（2）必须满足“一正，二定，三相等”这三个条件，并且缺一不可。

教师：上例是直接运用基本不等式求最值，也就是直接是和为定值或积为定值的题型，要是碰到了和不是定值，积也不是定值的求最值又怎么办呢？我们来看第二种类型。

类型二 通过配凑成和或积为定值求最值

例2.(1)设0x2,求函数yx(83x)的最大值

(2)已知x1,求yx4的最小值

x1

教师分析：（1））求积的最大值，应该和为定值，可我们发现现在和并不是定值，那么怎么办呢？把问题抛给学生，让学生去思考去发现。学生思考后发现把x换成3x后和为定值，为了恒等变换整个式子再除以3即可。

教师讲解并板书：

解：（）10x2yx(83x)13x(83x)313x83x2()3216383x0

4当且仅当3x=8-3x即x=时等号成立316函数y=x（8-3x）的最大值是.3教师强调：求积的最大值把和凑成定值，并注意恒等变换以及等号成立的条件。

教师提问：除了上面这种方法外，我们还有没有其他的方法来解决这道题呢？有哪位同学可以想出来，然后叫学生来回答。（其实还可以用二次函数求最值的思想）

教师分析：（2）求和的最小值，应该积为定值，根据上一小题我们得到启发:把和凑成定值，那么这道题你们想到应该如何来配凑了吗？

师生活动：叫一位举手的学生边说出解题过程教师边进行板书。

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解：（2）x1yx4x14x11x1x102(x1)5当且仅当x-1=y=x+

41x1

4（x2）即x=2时等号成立x-14的最小值是5.x-1教师强调：求和的最小值把积凑成定值，并注意恒等变换以及等号成立的条件。

设计意图：（1）通过本例使学生掌握当和或积不是定值时，可以通过配凑使得和或积为定值，然后再用基本不等式求最值。

（2）有利于提升学生的恒等变形能力，发挥学生的主观能动性，突出学生的主体地位。

x2x1（2）已知x1,求y的最小值

x1

师生活动：教师给出时间让学生思考并解答，然后每道小题找出一位同学把他所做的答案通过展示台展出，并边展出边给全班同学讲解，讲解完了之后教师给他们讲的好的地方予以肯定，还需要完善补充的地方予以补充。

教师强调：这两道题的重点在于配成定值。特别是（2）中需要分离常数的方法比较新颖，提醒学生注意。

设计意图：（1）通过这两个变式题，进一步的让学生熟练配凑成和为定值或积为定值利用基本不等式来求最值；

（2）让学生上台讲解，有利于提高学生学习的积极性，给予他们表现的机会。

规律方法1：

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由基本不等式求最值可分为三步：

(1)验正值，检验求平均值的各个量是否都是正值．

(2)凑定值，当凑出的和为定值时，对应各个量的积有最大值；当凑出的积为定值时，其对应各量的和有最小值．

(3)取等号，即对应各个量能取得等号时，则可取最值；否则，不能用基本不等式求最值．

以上三步简称“一正、二定、三相等”，三步缺一不可．

教师提问:前面两种类型，一种是直接运用基本不等式求最值，另一种虽不能直接用，但也可以通过配凑再来用基本不等式求最值，那么接下来的这种问题又如何来解决呢？

类型三 利用“1”巧妙求最值

11例3.已知x0,y0,且xy1,求的最小值

xy

教师分析：求和的最小值，我们发现积不是定值，而是和为定值，但这个定值恰好为1，我们知道任何数乘以1都等于本身，所以我们不妨将要求的式子乘以1，只是这个1用x+y来代替，看看会得到一个什么结果呢？乘了以后再展开我们发现积为定值，可以求最小值。

教师讲解并板书：

1111解：()(xy)xyxyyx2xy24yxxy1当且仅当xy1即xy时等号成立2x0,y011的最小值是4.xy

yx2xy

教师小结：“1”的作用就是使得积为定值。

（1）如果把本例的条件改为“x+y=2”呢，应如何解答？教师提问：

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（2）如果把本例的所求的式子改为“+”呢，又该应如何解答？xy（3）如果交换条件和要求的式子呢，又该如何解答？请同学们动手试一试（展出幻灯片）

师生活动：教师给出时间让学生思考并解答，然后找出一位同学把他所做的答案通过展示台展出，并边展出边给全班同学讲解，讲解完了之后教师给他们讲的好的地方予以肯定，还需要完善补充的地方予以补充。

设计意图：（1）通过本例让学生学会利用“1”等价代换变形之后利用基本不等式求最值；

（2）再次巩固基本不等式，让学生熟悉公式，并学会应用；

19变式：已知a,bR,且2,求ab的最小值

ab

师生活动：先让学生思考一会，然后叫一位会做的学生上台把自己写下的答案在展示台上展出，边展出边给全班同学讲解。讲的不到位的地方教师给予补充。

设计意图：进一步的让学生熟悉“1”的等价代换以及基本不等式的应用。

规律方法2：

利用基本不等式函数的最值，关键是函数中必须是有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果，必要时，也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到．

教师：通过前面三种类型的讲解，我们对基本不等式的应用有了一定的了解，为了更进一步的熟练本节课的知识，下面我们进入一个好玩的游戏环节----快速抢答。

师生活动：每展出一个题目，让学生思考1分钟，然后教师说出“开始抢答”后，学生迅速举手，教师叫出举手最快的同学出来回答，答对了给予奖励。

三、快速抢答

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1.函数y=x+1(x0）的最小值是（

C ）2x2A.1 B. C.2D.22212.函数y=x+(x0）的最大值是（

D ）xA.1 B.2 C.-1D.-213.函数y=x（1-2x）(0x）的最大值是（

A ）2111A. B. C.D.184214.函数y=x+2+(x>-1）的最小值是（

C ）x+1A.1 B.2 C.3D.4

设计意图：通过快速抢答的环节：

（1）让学生巩固所学知识，熟练公式应用，强化学生基础知识、基本技能的形成；

（2）有利于调动学生学习的积极性，活跃课堂气氛，提高学生的反应能力。

四、课堂小结：

1、二元基本不等式具有将“和式”转化为“积式”，和将“积式”转化为“和式”的“放缩功能”. 2、创设应用均值不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的成因在于使等号成立. 3、注意均值定理成立的条件：“一正，二定，三相等”.

设计意图：通过小结整理，发现疑问，当堂消化，有利于形成知识体系。

五.作业布置：

必做题：

1、若lgxlgy2,求xy的最小值。

2、函数的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，

其中mn0,则的最小值是__________.

选做题：

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1.设ab0,求函数ua2+16的最小值.

b(ab)1122．设0＜m＜，若＋≥k恒成立，求k的最大值．

2m1－2m1113．设x，y均为正实数，且＋＝，求xy的最小值．

2＋x2＋y3

设计意图：（1）必做题是让学生巩固所学知识，熟练公式应用，强化学生基础知识、基本技能的形成；

（2）选做题达到分层教学的目的，根据学生的实际情况，对他们进行素质教育。

六.板书设计

基本不等式

ab≤

yx(83x)例2.解：（）10x2a＋b2 一正二定三相等

83x01111例3.解：()(xy)xyxy2yx2xy4yx2xy

电子白板

13x(83x)313x83x2()321634当且仅当3x=8-3x即x=时等号成立316函数y=x（8-3x）的最大值是.3（2）x1x10yx4x1x141x1yxxy1当且仅当xy1即xy时等号成立2x0,y011的最小值是4.xy415x14当且仅当x-1=（x2）即x=2时等号成立x-14y=x+的最小值是5.x-12(x1)

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