2.基本不等式ppt配套教案板书设计

§3

平均值不等式

1．掌握定理1和定理2及其证明，并能灵活应用．

2．理解定理3和定理4及其证明，并能简单应用．

3．会用相关定理解决简单的最大(最小)值问题．

1．二元均值不等式

(1)定理1：

22对任意实数a，b，有a＋b≥____(此式当且仅当a＝b时取“＝”号)．

(2)定理2：

对任意两个正数a，b，有______≥ab(此式当且仅当a＝b

时取“＝”号)．

我们称______为正数a与b的算术平均值，______为正数a与b的几何平均值．

定理2可叙述为：两个正数的__________不小于它们的__________．

1【做一做1－1】函数y＝＋x(x＞3)的最小值是(

)．

x－3A．5 B．4 C．3 D．2 a2＋b2【做一做1－2】“a＞b＞0”是“ab＜”的(

)．

2A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

2．三元均值不等式及其推广

(1)定理3：

333对任意三个正数a，b，c，有a＋b＋c≥____(此式当且仅当a＝b＝c时取“＝”号)．

(2)定理4：

对任意三个正数a，b，c，有a＋b＋c3定理4可叙述为：三个正数的__________不小于它们的__________．

(3)n个正数的算术几何平均不等式：

一般地，对n个正数a1，a2，…，an(n≥2)，我们把数值______________，__________3≥abc(此式当且仅当a＝b＝c时取“＝”号)．

分别称为这n个正数的算术平均值与几何平均值，且有______________≥a1a2…an，此式当且仅当____________时取“＝”号，即n个正数的算术平均值不小于它们的__________．

149【做一做2】设x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1．求证：＋＋≥36．

nxyz答案：

1．(1)2ab

(2)a＋ba＋b2

2

ab

算术平均值

几何平均值

1＋x－3＋3．

x－3【做一做1－1】A 原式变形为y＝∵x＞3，∴x－3＞0，∴∴y≥21＞0．

x－3x－1＋3＝5．

x－31，即x＝4时等号成立．

x－3a2＋b22aba2＋b2【做一做1－2】A 当a＞b＞0时，＞＝ab成立，当ab＜时，不能推出222当且仅当x－3＝

1

“a＞b＞0”，故选A．

2．(1)3abc

(2)算术平均值

几何平均值

a1＋a2＋…＋anna1＋a2＋…＋an

a1a2…an

a1＝a2＝…＝an

几何平均值

nn【做一做2】分析：本题需变式出现积为定值的情况，而条件中是和为定值x＋y＋z＝1，(3)所以对所证不等式的左边需变形出现积为定值的情况．

149x＋y＋zx＋y＋zx＋y＋z证明：＋＋＝＋＋

xyzxyy4xz9x4z9y＝14＋＋＋＋＋＋

xyxzyzz≥14＋4＋6＋12＝36．

y4xz9x4z9y111当且仅当＝，＝，＝，且x＋y＋z＝1，即x＝，y＝，z＝时取等号．

xyxzyz632

对定理1和定理2的理解

a＋b22剖析：(1)a＋b≥2ab与≥ab成立的条件是不同的：前者只要求a，b都是实数，222而后者要求a，b都是正数．有些同学易忽略这一点，例如：(－1)＋(－4)≥2×(－1)×(－－＋－4)成立，而≥－－不成立．

2(2)这两个不等式都带有等号，应从两方面理解，“当且仅当……时，取‘＝’号”这句话：

a＋b①当a＝b时，取等号，其意义是a＝b⇒＝ab；

2a＋b②仅当a＝b时，取等号，其意义是＝ab⇒a＝b．

2a＋b综合起来，其意义是：a＝b是＝ab成立的充要条件．

2ab2a＋b(3)从这两个不等式我们可以得到如下结论：＋≥2(ab＞0)；≤ab≤ba112＋ab≤(a＞0，b＞0)．

2(4)式子中的a，b可以是数字，也可以是复杂的代数式．

题型一

利用平均值不等式证明不等式

a2＋b211【例1】若x＞0，y＞0，x＋y＝1，求证：1＋1＋≥9．

xy分析：本题是有条件的证明不等式问题，要巧用“x＋y＝1”来证明．

反思：利用平均值不等式证明不等式时，要注意把握平均值不等式的结构特点，以便灵活地用于解题，另外，式子的灵活变形，进行拆项、凑项，也是常用的方法．

题型二

利用平均值不等式求最值

【例2】设x≥0，y≥0，x＋＝1，求x1＋y的最大值．

2分析：利用x＋＝1，将式子进行变形再利用定理进行求解．

222y22y2

2

反思：在解题过程中，要拼凑出和为定值，利用ab≤a＋b2(a＞0，b＞0)来求解最大值．

52【例3】求函数f(x)＝x(5－2x)0

22分析：对于x(5－2x)无法直接利用平均值不等式求最值，可先拼凑出平均值不等式的形式后再求最值．

3反思：利用a＋b＋c≥3abc应注意不等式成立的条件．在求最值时，除了注意“一正”、“二定”、“三相等”之外，还要掌握配项、凑系数等变形技巧，有时为了便于应用公式，还用换元法，多用于分母中有根式的情况．

题型三

利用平均值不等式解决实际问题

【例4】如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底面宽为2 m的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长为a m，高为b m，已知流出的2水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60 m，问当a，b各为多长时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小？(A，B孔的面积忽略不计)

分析：题意中的“杂质的质量分数”可按“杂质的含量”理解，设为y．由题意y与ab成反比，可设比例系数为k，则y＝．又由于箱体材料多少的限制，a，b之间应有一定的关系式，即2×2b＋2ab＋2a＝60，因此该题的数学模型是：已知ab＋a＋2b＝30，a＞0，b＞0，求a，b为何值时，y＝kabk最小．

abAx2＋Bx＋C反思：(1)对于分母是一次式，分子是二次式的分式，可采用本题中的变形Dx＋E方法．

(2)本题的难度不在于建立数学模型，而在于建模后如何求函数的最值，这需要扎实的数学知识和灵活应用基本定理、公式解题的能力．

(3)可以说解应用题需要过两关：一关是如何对由文字给出的应用问题建立数学模型；另一关就是对于建模后的数学模型，如何用相关的数学知识将其解答出来．

题型四

易错辨析

2222【例5】设a，b，x，y∈R，且有a＋b＝3，x＋y＝6，求ax＋by的最大值．

a2＋x2b2＋y2错解：∵ax≤，by≤，

22122229∴ax＋by≤(a＋b＋x＋y)＝，

229∴ax＋by的最大值为．

2错因分析：错解中不等式取等号的条件是当且仅当x＝a，y＝b，由条件知这是不可能的，所以不可能取到上述的最大值．

反思：在利用平均值不等式进行证明或求解时，一定要注意等号取得的条件是否满足，即“一正、二定、三相等”的原则．

答案：

111x＋y122【例1】证明：证法一：左边＝1＋＋＋＝1＋＋＝1＋≥1＋＝9＝xyxyxyxyxyx＋y22右边．

3

1当且仅当x＝y＝时，等号成立．

2x＋y1＋x＋y＝2＋y2＋x＝5＋2y＋x≥5＋4＝9＝右边．

证法二：左边＝1＋xyxyxy1当且仅当x＝y＝时，等号成立．

2证法三：利用三角函数来证明．

π22令x＝cosθ，y＝sinθ，0＜θ＜．

2111112左边＝1＋21＋2＝1＋＋＋＝1＋222222cosθsinθcosθsinθsinθcosθcosθsinθ8＝1＋2≥1＋8＝9＝右边．

sin2θπ1当0＜2θ＜π，且θ＝，即x＝y＝时取等号．

42【例2】解：∵x≥0，y≥0，x＋＝1，

21＋y∴x1＋y＝x＋y＝2x·

221＋yy2122x＋x＋＋22232≤2·＝2·＝．

22421＋y32322时，x1＋y2取得最大值当且仅当x＝，y＝时即x＝．

22241【例3】解：f(x)＝×4x×(5－2x)(5－2x) 414x＋5－2x＋5－2x3250≤＝27．

345当且仅当4x＝5－2x，即x＝时，等号成立．

6552502∴当x＝时，函数f(x)＝x(5－2x)0

2627222222y2【例4】解：设流出的水中杂质的质量分数为y，由题意，得y＝，其中k为比例系数(k＞0)．根据题意，得2×2b＋2ab＋2a＝60(a＞0，b＞0)．

30－a∴b＝(由a＞0，b＞0，可得0＜a＜30)．

2＋a∴y＝＝．令t＝a＋2，则a＝t－2．

ab30a－a22＋a230a－at－－t－234t－t2－6464从而＝＝＝34－t＋，

t2＋att∴y＝≥ab34－2kabkkkkt·＝．

6418kt6464当且仅当t＝，即a＋2＝时，取“＝”号，

ta＋2∴a＝6．

4

由a＝6，可得b＝3．

综上所述，当a＝6，b＝3时，经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小．

2222【例5】正解：∵ay＋bx≥2aybx，

22222∴(a＋b)(x＋y)≥(ax＋by)，

当且仅当ay＝bx时取等号．

∴ax＋by≤3×6＝32，

2222当且仅当ax＝by且a＋b＝3且x＋y＝6时，等号成立．

1下列结论正确的是(

)．

1A．当x＞0且x≠1时，lg x＋≥2

lg x1B．当x＞0时，x＋≥2

x1C．当x≥2时，x＋的最小值为2 x1D．当0＜x≤2时，x－无最大值

x1112已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则＋＋与9的大小关系是(

)．

abc111111A．＋＋≥9 B．＋＋＜9 abcabcabc111C．＋＋＝9 D．不确定

12123若x，y是正数，则x＋＋y＋的最小值是__________．

2y2x24设计一幅宣传画，要求画面面积为4 840 cm，画面的宽与高的比为λ(λ＜1)，画面的上、下各留8 cm的空白，左、右各留5 cm的空白．怎样确定画面的高与宽，才能使宣传画所用纸张面积最小？

答案：

1．B 在选项A中，0＜x＜1时，lg x＜0不成立；选项C中，等号取不到；选项D中，1x－为增函数，当x＝2时取得最大值．

x111a＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c2．A ＋＋＝＋＋

abcabbacacb＝3＋＋＋＋＋＋

abacbcc≥3＋2＋2＋2＝9．

1当且仅当a＝b＝c＝时取等号．

311xy223．4 原式＝x＋2＋y＋2＋＋．

4x4yyx∵x＞0，y＞0，

11∴原式≥2·＋2·＋2＝4，

22当且仅当x＝y＝2时，等号成立．

24 84024．解：设画面的宽为x cm，则画面的高为cm，设纸张面积为S cm，则S＝(x＋x

5

10)4 840＋16＝5 000＋16x＋3 025≥5 000＋16×2xx3 025当且仅当x＝，即x＝55时，S取得最小值．

x·3 025＝6 760．

xx4 840555此时高为＝88 cm，λ＝＝＜1．

55888答：画面的高为88 cm，宽为55 cm时，才能使宣传画所用纸张面积最小．

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