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《基本不等式求最值的五大绝技》

一、知识回顾梳理

1、投影给出表格一列，学生思考回顾，再投影其余列。

2、思考运用基本不等式求最值问题的一些基本应用，投影PPT第二。

“＝”何时取重要不等式

应用条件

得

作用

变形

abab

2a,bR

a,bR

ab

和积

abab

2a2b2ab

22ab2ab

22ab

平方和积1）运用基本不等式求一些最值问题：

22abab用ab2ab求最小值；用ab求最大值；

2222）已知x,y都是正数，如果积xy是定值P，那么当小值2P；如果和xy是定值S，那么当xy时，和xy有最2xy时，积xy有最大值1S4

3、小结应用时的注意事项，投影PPT第三：

运用以上结论求最值要注意下列三个问题：

(1)要求各数均为正数；

(2)要求“和”或“积”为定值；

(3)要注意是否具备等号成立的条件．简称

“ 一正、二定、三相等 ”．

二、重点辅导：基本不等式求最值五大技巧

应用基本不等式求最值，通常有较强的综合性和技巧性，往往是考生的难点。掌握以下五大技巧，肯定可以使大家解决此类问题的功力倍增。

应用基本不等式求最值，关键条件之一是“积为定值”或“和为定值”。因此配凑出“积为定值”或“和为定值”，是最常见的一种技巧。投影：

技巧一：配凑法求最值

例1：a,b是正数，且ab4，求ab的最大值。

1

22ab4学生解答：ab4，当且仅当ab2时取等号。所22以ab的最大值为4。

变形：a,b是正数，且2ab4，求ab的最大值。

教师启发怎样配凑出定值2ab4？学生求解，教师投影：

ab112ab142ab2

222224的最小值。

x－222例2：

已知x>2，求y=x＋点拨：怎样配凑“积为定值”或是“和为定值”？

解：∵x>2，∴x－2>0，∴x＋≥2以x＋44＝x－2＋＋2 x－2x－244x－2·＋2＝6，当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立．所x－2x－24的最小值为6. x－2技巧二

：常值代换求最值

点拨：某些需求最值的式子，单从目标式看似很难变凑出“积为定值”或“和为定值”，如果已知条件中有式子为常数值，这时可能通过乘以这个定值，展开可能得到“积为定值”或“和为定值”，从而应用基本不等式顺利求解。

14例3、已知x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝1，求x＋y的最小值．

学生根据前面的点拨，尝试如何变形。思考后投影：

14y4x解：

x＋y＝(x＋y)(x＋y)＝1＋x＋y＋4 y4xy4x＝x＋y＋5≥2·x·y＋5＝9，当且仅当y4xx＝y，14x＋y＝1，

即x＝3，y＝6时，等号成立，故x＋y的最小值为9. 21例4:(1)已知x,y0且xy1，求的最小值。

xy

2

11（2）已知正数x,y满足2，求x2y的最小值。

xy学生受前例启发自我完成，投影订正。过程见课件。

129深入练习：已知x(0,)，则的最小值为 。

2x12x指导学生思考与例3、例4的区别，没有已知的为常值的已知式，根据目标式特点，可以乘以什么为常值的式子？

1解：x(0,)，12x0，又2x12x1，原式可化为：

294，从而化归到例4的题型上。后续过程见课件。

2x12x2x12x技巧三

：拆项法求最值

ax2bxc对y类型的函数求最值，可以把函数拆成两项的和，而两项的mxn积为定值，从而为应用基本不等式创设条件！

x2＋7x＋10例5：已知x>－1，试求函数y＝的最小值．逐步启发，逐步投影。

x＋1x＋12＋5x＋1＋44解：y＝＝(x＋1)＋＋5，

x＋1x＋1∵x>－1，∴x＋1>0. ∴y≥244x＋1·＋5＝9，当且仅当x＋1＝，

x＋1x＋1即x＝1时，函数取得最小值9，故函数的最小值为9. x－4x＋55自我练习（投影题目，学生完成）：已知x≥2，则f(x)＝有(

) 2x－455A．最大值4

B．最小值4

C．最大值1

D．最小值1 x2－4x＋5x－22＋111【解析】由已知f(x)＝＝＝2[(x－2)＋]，

2x－42x－2x－25∵x≥2，x－2>0，

1111∴2[(x－2)＋]≥2·2x－2·＝1，

x－2x－21当且仅当x－2＝，即x＝3时取等号．故f(x)的最小值为1，选D. x－2技巧四：分子化为常数

3 2

6x21例6. 求函数y2的最大值。

x4思考：本例与例5有何联系与区别？能否化归到例5的途径上，从而应用基本不等式求最值？

点拨：只要分子、分母都除以适当的式子，使分子化为常数，分母就可以化归到拆项法求最值的题型上来。

6x216x212解：y2x4x136x162323x21

x213x1223，y3x123

当且仅当x21，即x2时取得最大值。

mxn类型的函数求最值，可以通过把函数分子分母除2axbxc以适当的式子，使分子化常数，分母化归到技巧三拆项法的形式上来，从而为应用基本不等式创设条件！

x自我练习：函数f(x)＝的最大值为(

) x＋1引导总结对y212A.5

B.2

C.2

D．1 学生独立完成。后投影解析：∵f(x)＝11≤211＝，

12x＋1xx·x当且仅当x＝x即x＝1时等号成立．答案：B 技巧五

：消元法求最值

例7

若正数a,b满足abab3，则ab的取值范围为____．

学生自由探索。可能有以下一些思路。

思路1：由ab2a，babab3，得ab32ab，ab22ab30，ab3，ab9，即ab9,

思路2：由abab3求出b，将ab转化为关于a的函数，再求范围。

4

由已知，得b(a－1)＝a＋3，即b＝a＋3由于a>0，b>0,所以a>1，于是ab＝a－1a＋3a23aa·。接下来既可以化成，回归到例5，用拆项法求解（下略）；也可a－1a1a＋3a＋3ab以用凑配法，凑积为定值求解，如下：＝a·＝[(a－1)＋1]·＝a＋3＋a－1a－1a＋34＝a－1＋＋5≥2a－1a－1当且仅当a－1＝4a－1·＋5＝9. a－14(a>1)，即a＝3时，等号成立，此时b＝3.所以ab的取a－1值范围为[9，＋∞)．

y2自我练习：已知x,y,z为正实数，满足xy2z0，求的最小值。

xz启发：已知式中有三个变元，可不可以减少变元，代入目标式后消元？事实y2x2zx24xz4z2上yx2z，，从而再用裂项法求最值。详细过xzxzxz程见课件。

四、小结提炼

1、利用重要不等式求最值，（1）a,bR,那么a2b22ab（当且仅当ab时取等号），（2）ababa0,b0（当且仅当ab时取等号）两公式条22件不同，前者a,b为实数，后者a,b为正数。注意公式正向、逆向使用的条件以及“=”成立的条件。

2、利用基本不等式求最值，把握七字方针，即“一正、二定、三相等”。

3、

利用基本不等式求最值时，如果无定值，要先配、凑出定值，再利用基本不等式求解。回放PPT，总结本专题的五种方法。

五、课后作业（

答案见PPT）

1、(1)

a,b都是正数，且2ab2，求a1b的最大值及此时a,b的值；

(2)

a,b都是正数，a22b22，求a12b2的最大值。

12、(1) 已知0＜x＜3，求函数y＝x(1－3x)的最大值；

5

11(2) 已知x、y为正数，且满足2x＋y＝1，求x＋y的最小值．

3、(1) 已知x3，求函数yx1的最小值；

x35x24x5(2) 已知x，求fx的最小值。

2x2

6