阅读与思考 海伦和秦九韶优秀教学设计

海伦—秦九韶公式

【教学内容】人教A版数学必修五第一章《解三角形》阅读材料

【教学对象】高二学生 【教材分析】本节内容是高中数学必修五的第一章，是阅读与思考部分中的内容，《高中数学新课程标准》中并没有做要求。教材中只占用一页篇幅，叙述了秦九韶公式与海伦公式的记载历史，并未给出证明和应用。本节内容之前学生已经学习了解三角形，它是三角形面积公式的延续与拓展，又是后续研究三角形面积相关知识的基础。本节课的主要设置对象为数学学习程度较好的学生――在完成《高中数学新课程标准》中要求的学习之后仍有余力的同学，意在引领学生运用所学知识对海伦公式进行证明，并让同学们从中体会到数学之美. 【学情分析】高二学生在进入本节课的学习之前，已经熟悉余弦定理、三角形面积公式以及平方差公式和完全平方公式。 【教学目标】 1、知识与技能：（1）理解秦九韶公式与海伦公式的本质相同；（2）会证明秦九韶公式与海伦公式，并理解海伦公式的本质；（3）会用海伦公式解决简单的涉及到三角形三边与面积之间关系的问题。 2、过程与方法：（1）经历证明秦九韶公式及海伦公式的全过程，培养学生严谨的数学逻辑思维；（2）提高学生应用海伦公式解决涉及三角形三边与面积之间关系问题的能力。 3、情感态度价值观：（1）体会到数学的简洁美；（2）体会数学以不变应万变的魅力。

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【教学重点】证明秦九韶海伦公式的过程。 【教学难点、关键】海伦公式的本质。 【教学方法】引导探究、实例运用。 【教学过程设计】 一、回顾旧知 通过提问，让学生回答出已经学习过的公式. 1如:SbcsinA. 1、三角形面积公式：ABC2b2c2a2cosA2、余弦定理的变形：如：.

2bc二、引出问题 问题：ABC中,已知a7,b6,c5,求ABC的面积.

运用我们已经学习过的知识可以直接求解吗？

在黑板上演示推导的全过程，让学生清楚地看到新知识的形成过程。 PPT演示：由面积公式可得,SABCbca，得SABC2bc2221bcsinA，sin2A1cos2A，22cosA122b2c2a2[bc]

42ppt展示并讲授秦九韶的著作《九章算术》以及他的伟大成就。 老师擦掉公式，让学生试着默写出秦九韶公式，大部分学生无法完整默写。提出疑问：秦九韶公式不够简洁不方便记忆的弊端。学生和老师继续探索，简化秦九韶公式。

下面我们对上述公式的证明：

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SABC11222122bcsinAbcsinAbc(1cos2A)

244122b2c2a22[bc()]

421b2c2a222=（bc）()

241b2c2a21b2c2a2=(bc)(bc)

24242bcb2c2a22bcb2c2a2=

442（bc）a2b2(ca)2=

44==abcabcacbbca

2222p(pa)(pb)(pc).其中，pabc2. 通过上述证明向学生们揭示秦九韶公式与海伦公式的本质是一样的。 设计意图：在推导过程中自然地解释海伦公式中为什么令p=1/2*（a+b+c）。体会海伦公式简洁的魅力，并了解一些数学家的故事。 三、秦九韶——海伦公式的应用 问题1：ABC中,已知a13,b14,c15,求ABC的面积.. 问题2：ABC中,已知a2,b2c,求ABC的面积的最大值为多少？

问题1：ABC中,已知a2,b3,c5,求ABC的面积.. 设计意图：1.让学生经历运用海伦公式解决数学问题的过程；

2.培养学生利用海伦公式解决三角形三边与面积之间关系问题的意识。

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四、归纳小结 SABC1bcsinA

2



秦九韶公式：SABC122b2c2a2[bc]

422五、板书设计

海伦公式：Sp(pa)(pb)(pc).其中，pabc.

2SABC1bcsinA

2



秦九韶公式：SABC122bca[bc42222]

2

海伦公式：Sabcp(pa)(pb)(pc).其中，p.

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六、创新之处

1、本节对于程度较好的学生，海伦公式及其应用在今后的学习中是十分重要，设计本节内容有利于学生日后的进步。

2、本节内容在众多教学设计中鲜有涉及，本文则详细介绍和证明海伦公式，严谨证明海伦公式作为授课思路。 3、本文学习后，本文着重带领学生理解公式的字母可变性和结构不变性，加深学生对海伦公式本质的理解，更是引领学生掌握海伦公式的本质，体会数学中以不变应万变的魅力。 4、海伦公式的应用方面，通过练习，让学生发现海伦公式更广阔的应用，既可以解决已知三角形三边长求面积，也可以解决涉及到三角形三边与面积之间关系的问题。 5、课开始时的回顾旧知与结束时的总结，强化学生对三角形面积公式的知识构建，有利于学生理解掌握该类知识，也可以使学生自潜移默化之中培养对知识框架构建的意识。

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