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教

学设计授课人：刘冉

《二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》教学设计

课型：复习课 一、教学目标：

知识与技能：了解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值. 过程与方法：培养学生观察、联想、作图和理解实际问题的能力，渗透化归、数形结合的数学思想. 情感态度与价值观：结合教学内容培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识. 二、教学重难点

教学重点：线性规划问题的图解法；寻求有实际背景的线性规划问题的最优解. 教学难点：用图解法求最优解的探索过程；数形结合思想的理解. 教学关键：指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法找到目标函数与直线方程的关系

三、教学过程

（一）考点研究

考点一：二元一次不等式表示的平面区域

不等式 表示区域 不包括边界直线 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域 包括边界直线 Ax＋By＋C＞0 Ax＋By＋C≥0 不等式组 教师补充：

各个不等式所表示平面区域的公共部分 确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧

确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．

(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线；

(2)特殊点定域，即在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一

侧．特别地，当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点．

考点二：线性规划中的基本概念

名称

约束条件

线性约束条件

目标函数

约束条件

线性约束条件

目标函数

线性目标函数

教师补充：

线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有，所以在求解最值时，要结合可行域的形状以及目标函数的几何意义来确定最值．

（二）考向研究

考向一：二元一次不等式(组)表示平面区域

意义

由变量x，y组成的 由x，y的 不等式(或方程)组成的不等式(组) 关于x，y的函数 ，如z＝2x＋3y等

由变量x，y组成的 由x，y的 不等式(或方程)组成的不等式(组) 关于x，y的函数 ，如z＝2x＋3y等

关于x，y的 解析式

y≤－x＋2，【例1】不等式组y≤x－1，y≥0

所表示的平面区域的面积为(

) 111A．1

B.

C.

D.

234【解析】作出不等式组对应的区域为△BCD，

y＝－x＋2，由题意知xB＝1，xC＝2.由y＝x－1，

1111得yD＝，所以S△BCD＝×(xC－xB)×＝. 2224

y≥2|x|－1【例2】

(2014年北京东城模拟)在坐标平面内，不等式组y≤x＋1

所表示的平面区域的面积为(

) 822A．2

B.

C.

D．2 33解析：不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分，又y＝x＋1，y＝2x－1的交点B21的横坐标为2，由y＝－2x－1，y＝x＋1，解得点C的横坐标为－，所以S△ABC＝·AD·(|xC|32128＋|xB|)＝×2×＋2＝. 233

归纳总结：

1．在画二元一次不等式(组)表示的平面区域时，要注意以下两个问题：(1)边界线是虚线还是实线；(2)选取的平面区域在直线的哪一侧．

2．对于面积问题，可先画出平面区域，然后判断其形状，求得相应的交点坐标、相关的线段长度等，利用面积公式求解。 考向二：求目标函数的最值

y≤2x，【例3】若变量x，y满足约束条件x＋y≤1，y≥－1，5A．－ 25C. 3

则x＋2y的最大值是(

) B．0 5D.

2解析：根据不等式组作出其平面区域，令z＝x＋2y，结合z＝x＋2y的特征求解．

11不等式组表示的平面区域为图中阴影部分．平行移动y＝－x＋z，可知该直线经过y2214512＝2x与x＋y＝1的交点A，时，z有最大值为＋＝. 33333利用例3条件，改变问题：

112解析：由例中图可知B(2，－1)，C－，－1，A，

233(1)由z＝y－2知其几何意义为动点(x，y)到定点(0,2)连线的斜率，由图中知当动点(x，x－1－2＝6. 1－2y)过点C时，斜率最大,z最大＝22(2)由z＝x＋(y－2)其几何意义为动点(x，y)与定点(0,2)连线的距离的平方，由图可知点A到定点(0,2)距离最短，点B到定点(0,2)的距离最远，故Z最小＝ 212＋2－223317＝，

9z最大＝(22＋32)2＝13. 归纳总结：

1．利用平面区域求目标函数的最值步骤

(1)作出可行域；

(2)找到目标函数对应的最优解对应点；

(3)代入目标函数求最值．

2．常见的目标函数

(1)形如z＝ax＋by的截距型；

(2)形如z＝y－a的斜率型；

x－b22(3)形如z＝(x－a)＋(y－b)的距离型．

3．线性目标函数的最值点，一般在可行域的顶点或边界上取得

四、课堂小结

通过复习本节进一步掌握线性规划的三种类型：截距型，斜率型，距离型

五、课后作业

《课时作业》A组对应练习