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3.4.1基本不等式

一、内容与解析

(一)内容：不等式a2b22ab、abab(a0,b0)的证明及简单应用

2(二)解析：本节课要学的内容“均值不等式的证明及简单应用”

是本单元的第一课时，主要内容是不等式a2b22ab、abab(a0,b0)的证明及简单应用，,其核心是2abab(a0,b0)的简单应用,理解它关键就是要从它的代数意义着手并结合它的2几何意义来认识该不等式的结构.学生已经掌握了完全平均数恒大于或等于0，正方形的面积不小于由它分割出的各个三角形的面积之和。本节课的内容就是在此基础上的发展.由于它还能证明相关的不等式及求函数的最大值或最小值,所以在本学科属于掌握性的知识,并有工具性作用,是本学科的重要内容.教学的重点是证明并理解基本不等式,解决重点的关键是应用数形结合的思想，从不同的角度探索基本不等式abab(a0,b0)的证明过程。

2二、教学目标及解析

(一)教学目标: 1.了解重要不等式a2b22ab

2.学会推导并掌握基本不等式abab(a0,b0)

23.了解基本不等式的几何意义

4.掌握基本不等式的简单应用

(二)解析: (1)就是指知道任意两个实数的平方和不小于这两个实数积的2倍，并知道该不等关系即是完全平方差的一个变式。

(2)就是指能从代数与几何的角度分别证明基本不等式构上认识该不等式（即左边几何平均数）

(3)就是指通过几何证明时，知道左边式子表示为该圆中一条弦的一半。

ab可表示成一个圆的半径，而右边ab可2abab(a0,b0)，并能从结2ab是两个正数的算术平均数，右边ab是这两个正数的2

(4)就是指利用基本不等式f(x)bax(ab0,x0)的最值问题。

xabab(a0,b0)求形如函数2

三、问题诊断分析

在本节课的教学中,学生可能遇到的问题是：求最值时如何将问题转化为基本不等式。产生这一问题的原因是问题中的式子结构和基本不等式中式子的结构不能很快转化.要解决这一问题,就是要寻找所求问题中的两正数之和(或两正数之积)的结构形式,其中关键是对所求问题进行适当的化简变形.

四、教学支持条件分析

在本节课的教学中,准备使用几何画板,因为使用几何画板,有利于学生认识正方形面积问题中相关数量关系，在用几何法证明基本不等式时有利于学生充分理解算术平均数与几何平均数的几何意义. 五、教学过程

问题1.下图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。请根据这幅会标探索一些常见的不等关系。

【设计意图】1.利用现实生活中的图形，引导学生从数学的角度去思考一些问题。其目的是让学生感知数学来源于生活又服务于生活

2.所用的图形是根据我国古代数学家的发现设计的，其目的是让学生了解我们的祖先在数学上也是很有造诣的

3.利用下面这些小问题让学生能从代数和几何两个角度分别理解这个基本不等式。

【师生活动】

(1)你能通过下面的模拟图找出一些相等关系或不等关系吗？

【分析】在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条直角边长为a,b，

GFHaAa2+b2EbBDC

那么正方形的边长为a2b2．于是，4个直角三角形的面积之和S12ab，

正方形的面积S2a2b2．

由图可知S2S1，即a2b22ab．

(2)一般地,对于任意实数a,b,我们有a2b22ab,当且仅当ab时,等号成立.请你证明它?来源:Zxxk.Com]

【分析】（作差法）：

a2b22ab(ab)20

a2b22ab，当ab时取等号．

（在该过程中，可发现a,b的取值可以是全体实数）

(3)如果a0,b0,我们用a,b分别代替a,b,可得什么不等关系? abab

2【证明】由于a,bR，于是要证明 只要证明 ab2ab， 即证 (a)2(b)22ab0，

即 (ab)20，该式显然成立，所以

(4)你能通过下列方案,得到上述不等式的几何解释吗? 如图,AB是圆的直径,点C是AB上一点, ACa,BCb,过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD. 【分析】根据射影定理可得：CDACBCab

由于RtCOD中直角边CD斜边OD，

于是有abab

2abab，当ab时取等号．

2abab，

2DAaCbOBE

当且仅当点C与圆心O重合时，即ab时等号成立．

故而再次证明：

当a0,b0时，abab（当且仅当ab时，等号成立）

2（进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性）

(5)我们把ab叫做正数a,b的算术平均数,把ab叫做正数a,b的几何平均数.请用这两2个概念描述上述不等关系. 两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数

问题2.

（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

【设计意图】通过该例题的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化。均值不等式的主要应用就是求函数的最值，通过该例题的设计，让学生了解根据均值不等式的结构(即和式≥积式)，我们有“和定积最小，积定和最大”的相关定理。再根据下面的一些例题，让学生进一步掌握如何利用均值不等式求函数的最值

【师生活动】

1.解决上述问题。

解：(1)设该矩形的长、宽分别为x米、y米，则根据题意有：xy=100 由基本不等式可知：xy2xy（等号在x=y时取得）

所以当x=y=10时，x+y有最小值20 答：这个矩形的长、宽分别为10米时，所用篱笆最短，最短的篱笆是20米。

(2) 设该矩形的长、宽分别为x米、y米，则根据题意有：2x+2y=36，即x+y=18由基本不等式可知：xy2xy（等号在x=y时取得）

所以xy(xy2)81，等号在x=y=9时取得

2来源学#科#网Z#X#X#K]

答：这个矩形的长、宽分别为9米时，菜园的面积最大，最大面积是81平方米。

2.变式训练

2的最小值,并求此时x的值

x4(2)设x0,求f(x)23x的最大值,并求此时x的值

x(1)

设x0,求f(x)x【设计意图】

21.在运用基本不等式解题的基础上，利用几何画板展示yx(x0)的函数图象，x使学生再次感受数形结合的数学思想．

2.通过变式(2)引导学生领会运用基本不等式abab的三个限制条件（一正二定2三相等）在解决最值问题中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略．

解：（1）因为x0，所以由基本不等式可得：x即x2时取得）

故当x2时，函数f(x)x2有最小值22

x44423x43（等号在3x，即xxx2222x22（等号在x，xxx（2）因为x0，所以由基本不等式可得：3x23时取得）

3443

x423x243

xx所以3x故当x

423时，函数f(x)23x有最大值243

x3问题3.

某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800ｍ3，深为3ｍ．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？

【设计意图】1.通过该例题的设置，让学生了解在实际问题中我们也可以利用均值不等式求最值。

2.通过设未知量，列方程或不等式。让学生了解这些过程其实质就是将实际问题转化为数学问题的过程。

【师生活动】

1.如何设未知量，如何将实际问题转化为数学问题？

2.如何解决上述的数学问题？

3.将数学结果还原成实际问题的结论。

【分析】水池呈长方体形，它的高是3m，底面长与宽没有确定。如果底面的长与宽确定了，水池总造价也就确定了。因此，应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低

【解】设底面的长为x m，宽为y m，水池的总造价为z元。根据题意，有

z1504800120(23x23y)

2240000720(xy)由容积为4800m3,可得

3xy480

0

即xy1600

由基本不等式与不等式的性质，可得

240000720(xy)2400007202xy

即

z24000072021600

z297600

当xy，即xy40时，等号成立

答：将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元。来源学&科&网

问题4.

课堂小结

本节课我们学习了以下内容：

1.均值不等式的内容：abab(a0,b0)

22.利用均值不等式求最值时，一定要判定其是否同时满足三个条件：“一正”、“二定”、“三相等”。

3.当不能直接应用均值不等式时，要通过“拼”、“凑”、“折”、“提负号”等变形方法转

化出均值不等式所需的条件。

4.在求实际问题中的最值时，也可利用均值不等式。

来源学科网Z,X,X,K][来源学科网

六、课堂目标检测

1.把36写成两个正数的积。当这两个正数取什么值时，它们的和最小？

2.把18写成两个正数的和。当这两个正数取什么值时，它们的积最大？

3.做一个体积为32m3,高为2m的长方体纸盒，底面的长与宽取什么值时用纸最少？