本章小结优质教案设计

《几何体的外接球问题》教学设计

丹东市第一中学 张莹

一、教学目标

1．知识与技能目标：学会用补体法和构造直角三角形的方法解决空间几何体的外接球问题。

2．过程与方法目标：培养学生的空间想象能力，体会转化的数学思想方法。

3．情感态度与价值观：提高学生对解决外接球问题的能力，完善学生知识体系，增进学生对数学的信心和兴趣。

二、学情分析

近几年的高考题常把球与其它几何体相结合，对内切、外接问题进行考查，多以选择题、填空题的形式出现。部分学生只会简单直观的长方体和正方体的外接球问题，而在求解棱柱或棱锥的外接球问题的中，思路混乱，过程繁琐，较复杂的几何体的外接球问题成为了学生们的难点问题。

三、重点难点

1、重点：利用补体法和构造直角三角形的方法求解外接球问题

2、难点：画出几何体、求解外接球半径

四、教学过程

教学环节

课前自测

活动内容

师生互动

引入课题后，给学生3分钟的时间做课前自测

设计意图

通过课前自测，检验学生的外接球问题的掌握情况

引起学生的重视，使学生明确本节课的学习目标

ABCA1B1C1 在直三棱柱 中， ABC= 900，AB3,BC1,CC123,则它的外接球的表面积为____,体积为_____ 答案：16、32

3

考情分析

球是空间几何体中一个特殊的旋转体，近几年的高考题常把球与其它几何体相结合，对内切、外接问题进行考查。多以选择题、填空题的形式出现。

解题的关键是画出或想象出相应的图形，找出球半径与其它线面的关系. 知识巩固

利用几何画板对大圆、小圆、球的性质进行复习

生答：R2d2r2

提问：球心到截面的距离d与球给学生介绍外接球问题在高考当中的情况，及考察的重难点，引入学习目标

为接下来外接球问题的求解做好知识准备

S球4R2

4V球R3

3系？球的表面积和体积公式？

的半径R以及截面圆半径r的关

师：介绍外接球概念

师：通过PPT演示正方体和长方体的外接球半径与体对角线的关系

结论：

1、正方体棱长为复习基本模型外接球问题。从学生熟悉的几何体开始复习，为进一步学习做准备。

通过例1介绍补体法的中心思想，即将特殊棱柱或棱锥补成长方体或正方体

通过例2进一步深化补体法

专题复习

题型一：正方体和长方体的外接球

a,2R3a

2、长方体长宽高为a、b、c 2Ra2+b2+c2

题型二：直三棱柱的外接球

师：回到课前自测的问题，提出问题：这个三棱柱能否与长方体产生联想？

生答：可以构造一个三棱柱，与原有三棱柱构成长方体

ABCA1B1C1例1 在直三棱柱 中， ABC= 900，AB3,BC1,CC123,则它的外接球的表面积和体积为多少？ 2R3+1+12=4S422=16

432V23=33师：介绍补体法

题型三：四个面都为直角三角形的三棱锥的外接球

例2《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为

师：这是一道以数学文化为背景的三棱锥的外接球问题，提出问题：这个三棱锥能鳖儒

，已知三棱锥PABC 否用补体法做？

PA平面ABC,为鳖儒，

PAAB2,AC4，

柱，再补成长方体

则四面体外接球的半径为多少？ 生：可以先补成三棱2RPA2AC225

R5

题型四：三条侧棱两两垂直的三棱锥的外接球 例3 若三棱锥的三条侧棱两两垂

师：请同学自行想象这个图形，并且在黑板展示

通过同学在黑板展示，调动同学的积极性

3，则其外接直，且侧棱长均为 球的表面积？

2R3+3+3=3 , 2

3 S49

2

这道题需要很强的空间想象能力，需要同学们互帮互助，以小组合作的方式解决

题型五：正四面体的外接球

师：让学生以小组讨a的正四面体 论的形式，形成学习例4 求棱长为 ABCD的外接球的体积？

互助，共同探讨如何用补体法解决正四面体的外接球问题

师：请小组展示

6生：Ra

4

师：补体法，我们可以先画出长方体或正方体，然后去切割成想要的几何体

师：对棱相等的三棱推广，我们可以把它放在长方体中

答案：

设长方体的长、宽、

例6是例5的一般推广，让学生体会由特殊到一般的过程

题型六：对棱相等的三棱锥的外接球 例5已知三棱锥

ABCD，ABCD锥就是正四面的一般ADBC22,三棱锥 的外接球的半径= 。

ABCD3,ACBD4,

高分别为a,b,c,

由题意得

a2b29,b2c216,

c2a28,a2b2c266

R24小结归纳

提问：什么样的三棱柱和三棱锥可以用补体法？ 1、底面是直角三角形的直三棱柱可以补成长方体 2、正四面体可以补成正方体 3、侧棱两两垂直的三棱锥

；

四个面为直角三角形的三棱锥

；对棱相等的三棱锥

可以补成长方体

生回答，教师总结

鼓励学生多总结，多思考，将知识融会贯通

讨论探究

探究问题：正棱柱外接球球心位置？

经过学生讨论得出结论：

球心的位置——上下底面中心连线的中点

这个结论很好得出，可以充分信任学生，培养学生的几何思维

探究问题：正棱锥的球心位置？

结论：在其高上

专题复习

题型七：直棱柱的外接球

例6 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为？

师提出问题：像正棱柱、正棱锥这样的几何提的外接球问题如何解决？

师：构造直角三角形

设柱体高h，地面外接圆半径r，2通过正三棱柱问题讨论所有正棱柱外接球问题解法，体现由特殊到一般过程

hRr

22

题型八：正棱锥的外接球

a3aOO1=，O1B23OBOO12O1B2=7Sa237

a

12

突出重点，强化记忆

师：通过正棱柱联想到正棱锥的解法，师生共同得出结论：

RrhR

22问题拓展

问题：三角形外接圆半径？

1、若底面为直角三角形， 师：通过刚才的学习知道，如果用构造直角三形的方法重点是先求底面外接圆的半径

教师提问学生回答

1r斜边

22、若底面为等边三角形，

r3a

33、若底面是任意三角形,根据

abc2r

sinAsinBsinC

巩固练习

PABCD的五个顶点正四棱锥 在同一个球面上，若该正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为 ，6则这个球的表面积为? 通过练习巩固对因为PC6,刚学的结论的应1rAC2，

用

2所以h622,R2(2R)2(2)2

3解得R，S9.2总结归纳

师：先请同学归纳这节课所学知识，教师再进行总结

师：用课前自测这道题对比补体法和构造直角三角形法的区别

和联系

培养学生总结归纳能力，培养数学思维

通过对比，总结升华

课后作业

完成学案《几何体的外接球问题》，并做近5年关于几何体外接球问题的高考题

师：作业需要找近5年涉及几何体外接球问题进行真题演练

学完知识要应用知识