1.不等式的基本性质教学实录与评析

不等式的基本性质

[学习目标] 1.理解不等式的性质，能运用不等式的性质比较大小. 2.能运用不等式的性质证明不等式等简单问题. [知识链接] 1.怎样比较两个实数的大小？在比较时通常作怎样的数学变形？

提示

比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a－b的符号. 作差法中常用的变形手段是分解因式和配方等恒等变形，前者将“差”化为“积”，后者将“差”化为一个完全平方式或几个完全平方式的“和”，也可二者并用. 2.利用不等式的性质，如何证明下列不等式？

(1)a＞b，c＜d⇒a－c＞b－d；

ab(2)a＞b＞0，d＞c＞0⇒c＞d. [预习导引] 1.两个实数大小的比较

(1)a＞b⇔a－b＞0；

(2)a＝b⇔a－b＝0；

(3)a＜b⇔a－b＜0. 2.不等式的基本性质

(1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b，即a＞b⇔b＜a. (2)如果a＞b，b＞c，那么a＞c，即a＞b，b＞c⇒a＞c. (3)如果a＞b，那么a＋c＞b＋c. (4)如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc. (5)如果a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N，n≥2). nn(6)如果a＞b＞0，那么a＞b(n∈N，n≥2). 3.作差比较法

(1)理论依据：a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b. (2)方法步骤：①作差；②整理；③判断符号；④下结论.

要点一

不等式基本性质的简单应用

例1

若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是(

) 11A.a＜b

abC.2＞2

c＋1c＋1答案

C 规律方法

考查不等式的基本性质的选择题，解答时，

一是利用不等式的相关性质，其中，特别要注意不等式变号的影响因素，如数乘、取倒数、开方、平方等；二是对所含字母取特殊值，结合排除法去选正确的选项，这种方法一般要注意选取的值应具有某个方面的代表性，如选取0、正数、负数等. 跟踪演练1

若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(

) abA.d＞c

abC.c＞d

答案

B

要点二

实数大小的比较

2x12x＋＋1例2

x∈R，比较(x＋1)与x＋·(x＋x＋1)的大小. 22规律方法

(1)在本题中直接作差不容易判断其符号或者运算较大时，可观察式子自身的特点，先作变形，再去作差，然后比较大小. (2)要注意提高观察能力、敏锐的观察，特点的发现，加之中肯的分析是妙解与巧解产生的重要因素.在平日的学习中要注意多发现、多观察、多总结，别到用时方恨少. (3)两个实数比较大小，通常用作差法来进行.其一般步骤是：①作差；②变形，常采用配方、因式分解、分母有理化等方法；③定号，即确定差的符号；④下结论. b2a2跟踪演练2

若a>0，b>0，求证：a＋b≥a＋

b.

要点三

利用不等式的性质求范围

abB.d＜c

abD.c＜d

B.a2＞b2

D.a|c|＞b|c|

x例3

已知60＜x＜84，28＜y＜33，则x－y的取值范围为________，y的取值范围为________. 20x答案

27＜x－y＜56

11＜y＜3 规律方法

本题不能直接用x的范围去减或除y的范围，应严格利用不等式的基本性质去求得范围，其次在有些题目中，还要注意整体代换的思想，即弄清要求的与已知的“范围”间的联系.如已知20＜x＋y＜30，15＜x－y＜18，要求2x＋3y的范围，不能分别求出x，y的范围，再求2x＋3y的范围，应把已知的“x＋515y”“x－y”视为整体，即2x＋3y＝2(x＋y)－2(x－y)，所以需分别求出2(x＋y)、1－2(x－y)的范围，两范围相加可得2x＋3y的范围.“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求. 跟踪演练3

若已知二次函数y＝f(x)的图象过原点，且1≤f(－1)≤2，3≤f(1)≤4.求f(－2)的范围. 答案6≤f(－2)≤10.

1.不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，千万不可想当然. 2.作差法比较的一般步骤

第一步：作差；

第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”；

第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论). 最后得结论. 概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键. 3.求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算是解答此类问题的保证，在使用不等式的性质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而要先转化为同向不等式后作和.