一 比较法ppt配套的教学设计方案

第二讲 证明不等式的基本方法 比较法

【教学目标】

（一）知识目标

（1）了解不等式的证明方法——比较法的基本思想；

（2）会用比较法证明不等式，熟练并灵活地选择作差或作商法来证明不等式；

（3）理解比较法证明不等式的理论依据. （二）过程与方法

通过比较法证明不等式，培养学生观察、抽象、概括的能力，体会转化与化归的数学思想. （三）情感、态度、价值观

激发学习的内在动机；体会数学与生活的联系，使学生养成良好的学习习惯. 【教学的重难点】

（一）教学重点

作差比较法的基本思想及步骤. （二）教学难点

对“差式”的适当变形及判断符号. 【教学方法】

合作交流与启发引导相结合. 【教学过程】

(一)情境设计

“糖水加糖甜更甜”你能将这个事实用数学式子表示出来吗?

a＋ma 若a，b，m都是正数，并且a＜b，则＞

b＋mb用糖水加糖更甜，实际是糖的质量分数增大这个生活常识设置问题情境，激发学生学习动机，通过将实际问题转化为不等式大小的比较，引入新课。

(二)新课学习：

1.作差比较法

（1）理论依据：

abab0

abab0

abab0

（2）作差比较法的步骤：作差—变形（化简）—定号（差值的符号）—得出结论

例3.如果用akg白糖制出bkg糖溶液，则糖的质量分数为.b若在上述溶液中再添加mkg白糖，此时糖的质量分数增加到将这个事实抽象为数学问题，并给出证明.解：可以把上述事实抽象成如下不等式问题：（3）应用

ama已知a,b,m都是正数，并且ab,则a＋mabm上述引例：若a，b，m都是正数，并且a＜b，则b＞ 的证明如下：

b＋mb下面给出证明.将不等式两边相减，得ab,ba0;又amam(ba)(通分)bmbb(bm)am.bma,b,m都是正数，所以m(ba)0,b(bm)0m(ba)ama0即0b(bm)bmbamabmb师：本题变形的方法—通分法.

例1

求证：x2+3>3x

3233(x)≥

>0 证明：x+3－3x= 244师：变形的目的在于能判断差式的符号，这道题用的是配方法．

2

例2、已知a,b都是正数，且ab，求证：a3b3a2bab2. 证明：

(a3b3)(a2bab2)(a3a2b)(b3ab2)a2(ab)b2(ba)(a2b2)(ab)(ab)2(ab)ab,a,b0(ab)20,ab0(ab)2(ab)0a3b3a2bab2 师：本题的变形方法——因式分解.. 热身练习1:

(1)

求证:a2+b2+5≥2(2a-b)

(2) 已知ad≠bc,求证 (a2+b2) (c2+d2)＞(ac+bd)2

(学生板演,教师点评纠错) 师: 作差法是证明不等式常见的基本的方法，它一般适用于多项式、分式、对

数式等的不等式证明，在变形过程中往往采用配方、通分、因式分解等方法将之转化为可以判断符号（即与0比较大小）时为止，如：实数、因式乘积形式、平方和形式等。

2、作商比较法：

a(1)定义：若a＞0，b＞0，要证明a＞b，只要证明

＞1；要证明a＜b，只要ba证明

＜1.这种证明不等式的方法，叫做作商比较法. baaa（2）理论依据：a＞b＞0

＞1；a＝b＞0

＝1；0＜a＜b

＜1 bbb（3）一般步骤：作商—变形（化简）—判断（商值与实数1的关系）—得出结论

abba例3、已知a0,b0,求证：abab. 分析：当不等式两端是乘积形式或幂指数形式，常采用作商法。

证明：

∵a0,b0,

aabbaabab(ab)baab()abb aab当ab时（）1baaab当ab0时，1,ab0,（）1bbaaab当ba0时，0<1,ab0,（）1bbaabbabba

故原不等式得证. 热身练习2: 已知a＞0，b＞0，求证：ab(ab)（三）课堂小结：

aba+b2 比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法，用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断、得出结论.“变形”是解题的关键，是最重要的一步.作差常用的变形方法有：因式分解法、配方法、通分法，把差变形

为几个因式的乘积，或其它可判断符号的形式. 作商变形主要判断商值与1的大小关系，大多数情况如上面例3最终可化为指数函数形式利用指数函数的单调性与性质来进行判断较容易. （四）布置作业：

课本23页第3、4题.