二 一般形式的柯西不等式教学目标

3.1 柯西不等式（一）

一、学科核心素养与教学目标

（一）学科核心素养

提高学生在逻辑推理、数学运算等两方面的学科核心素养，增强学生对数学学习的信心，提高学习数学的兴趣，发展自主学习的能力。

（二）教学目标

1、理解柯西不等式的二维形式和向量形式；

2、会用柯西不等式解决一些简单的问题。

二、教学重难点

（一）重点

1、认识二维形式的柯西不等式，理解其几何意义；

2、会用二维形式的柯西不等式解决一些简单的问题。

（二）难点

1、二维形式的柯西不等式的证明；

2、通过二维形式的柯西不等式的学习，让学生现次体会“从特殊到一般”及“探究——猜想——证明——应用”的研究方法。

三、教学手段与方法

（一）多媒体

（二）引导式

四、教学时数

（一）引入（3分）

（二）揭示规律（15分）

（三）致知于用（10分）

（四）变式演练（10分）

（五）小结作业（2分）

五、教学过程

（一）复习导入（向量的数量积运算——知识生长点）

设非零向量m,n，则

（1）mn=______________,其中是m,n的夹角；

（2）mn________mn（大小关系），等号什么成立的条件呢？（由学生完成）

（二）揭示规律

如果给出向量的坐标，如m(a,b),n(c,d)，那么上面的公式又是什么呢？

（3）mn=______________；

（4）mn________mn_________________。其中等号成立的条件呢？

定理1 （二维形式的柯西不等式）若a,b,c,dR，则

转化与化归的数学思想

a2b2(c2d2)acbd，

2当且仅当adbc时，等号成立。

222222222222证明：ab(cd)acbdadbc

逻辑推理的核心素养

acbdadbc0

当且仅当adbc时，等号成立。

22

证毕

注1：柯西不等式的结构特征：

（1）不等号的左边：两对平方各的乘积；

（2）不等号的右边：乘积的和的完全平方。

定理2（柯西不等式的向量形式）设m,n是两个向量，则

mnmn，

当且仅当n0，或存在实数k，使得mkn时，等号成立。

（三）致知于用

例1：已知a,b为实数，证明:

a4b4(a2b)2a3b证明：根据柯西不等式，有

23. a4b4(a2b2)a2ab2ba3b3。

22设置目的：让学生熟练柯西不等式的结构特征。

例2：（最小值类——母题）已知xy1，求x2y2的最小值

分析：由于x2y2恰好是一个平方和的形式，要求其最小值，可以考虑再配一个平方和，然后利用柯西不等式求之。

解：因为

12y121

2

x2y2x22112x1y1

22数学运算的配平方和法

核心素养

xy1当且仅当，即xy时，等号成立。

2xy11故x2y2的最小值为。

2设计意图：1、深入理解柯西不等式的结构特点；2、学会构造柯西不等式的

一侧，3、利用柯西求最值需要等号成立的条件。

11例3：（整式--分式型）已知x,y0，xy1,求的最小值。

xy112分析：本例题是例的一种变式，如果将写成平方和的形式，可以考xy虑采取例2的做法求之。

解：因为

221111



xyxy2121

xyxy222

1

xx1y4

yxy1当且仅当，即xy时，等号成立。

2xy111故的最小值为4。

xy（四）变式演练

1

256变式2：已知xy1，则2x23y2的最小值______

5变式1：已知3x4y1，则x2y2的最小值________

11变式3：已知x,y0，1，则2xy的最小值________

xy21

2（五）课堂小结（师生共同复述）

两素养、一思想、一定理、一方法

六、板书设计

3.1柯西不等式（一）

一、引入

二、新知

定理1：

七、作业布置

（一）完成学案

（二）优化设计p32基础巩固

（三）必做1，2，3，5；选做6，7 八、课后反思

（一）本节课内容完整；

（二）例题设置梯度较好；

（三）个别学生听课不理想。

例1

例2

例3

变式1

变式2

小结

作业