3.三个正数的算术-几何平均不等式教学教案设计

§1.1.3

三个正数的算术-几何平均不等式

麓山国际实验学校

刘子泉

教学目标：

知识技能目标：理解

，掌握三个正数的算术-几何平均不等式，并能利用此不等式证明有关不等式和解决一些与其有关的实际问题。

过程性目标：通过学生积极参与，亲身经历三个正数的算术-几何平均不等式的获得过程，体验其在处理实际问题中的优越性，渗透类比的数学思想。

通过自主探索

，合作交流，学生历经从“特殊——一般——特殊”的认知模式,完善认知结构。

通过层层深入，

培养学生发散思维的能力，深化对三个正数的算术-几何平均不等式的理解。

情感，态度与价值观目标：学会与人合作交流，乐于探究，感受生活中的数学，体验成功的喜悦，激发学习数学的兴趣，形成正确的学习态度。

教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式 教学难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题

一

复习回顾

22定理1：

a

,

b



R

,

则

a



b



_____

2ab

如果

当且仅当

_a=b__时，等号成立。

定理2：

abab如果a,bR,则_____2

当且仅当______a=b_________时，等号成立。

定理2语言表述：______________________________

作用：

求最值的条件：

二、情境引入

思考：耒阳前进小学今年4月中旬，要举办第一届“我是小小制造家”的文化艺术节，王鹏同学打算制作一个体积为1立方分米的长方体模型的灯笼布置展厅，灯笼的框架用铁丝制作，怎样设计框架的长，宽，高，才能使所用的铁丝最短。他百思不得其解，大家能帮帮他吗？

三、讲授新课

定理3：

如果a,b,cR,那么

abc3

3



abc,

当且仅当

时，等号成立。

语言表述：

典例讲解：一、用基本不等式求函数的最值

3x2



(

x例1：求函数

y



2

0

)

的最小值．下面三位同学的解法是否正确？

x

320，

则

甲：由

x



0

知

2

x



0

,



x

3223y



2

xx22xx26x

33323当且仅当

2x

x

即x

32时

,ymin

2

63

22

18

_____

31222y2x2x乙：



xxx

12

x0,2x20,0,0xx

123y332x2334y34

x

x

m

in

3

23

3丙：

y



2

x

2







2x

x2x2x

322x0,0,

2x

__

339233y32x3

2x2x2

9333323

当且仅当ymin3362x即x3时，上式取等号222x4

小结：

x0

变式：

1

、函数

y

2

x



2

(

x



0

)

的最小值是

（

）

x

2

A、2

B、

2

C、3

D、

33

4

2、函数yx(x1)的最小值是___

(x1)2

例2：如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转成一个无盖方底的盒子,问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？

长是多少时，才能使盒子的容积最大？

x

a

二．用基本不等式证明不等式

1例题3：已知：a,b,cR,111求证：（abc)()9abc

注意：

四、本堂小结

随堂练习：

1

1、若a2,b3,则ab(a2)(b3)

__

的最小值为

A、4

B、3

C、6

D、5

2、若x,yR,xy24则xy的最小值是__

423、函数yx(2x)(0x2)的最大值是

3216A

C、

D、

、0

B、1

2727

11214 设a,b,cR,求证(abc)(222)27abc

五、作业：

习题１.１（第１１页）第１２、１４题