小结第二课时 公开课

高中数学选修（2-3）《排列的应用》习题课

教学目标：

知识与技能：能运用已学的原理与排列知识，正确地解决简单的实际问题。

过程与方法：掌握一些解决排列问题的基本方法，并进一步了解归纳化归的数学思想

情感、态度与价值观：通过探究讨论激发学生爱好数学的激情，通过小组合作增强学生的协助能力和创新意识。

教学重点：

掌握解排列问题的常用方法

教学难点：

掌握解排列问题的常用方法

教学过程

一、

引入：阿基米德与十四巧板

历史学家由一件用希腊文写在羊皮纸上的阿基米德手稿。2003年，科学家借助现代科技手段初步破译了这篇论文, 结论是这篇论文解决的是排列组合数学问题《十四巧板》(stomachion)。

在论文中阿基米德是在计算把14条不规则的纸带拼成正方形一共能有多少种不同的拼法。如今被称为tiling问题。斯坦福数学系的教授研究了这个问题，

设立了一个小小的奖项来征集答案， 100美金。数学家和计算机学者都来参与了。

伊利诺大学计算机系的比尔.卡特勒借助计算机得出的答案是17152种拼法。数学家用纸和笔对排列进行分类，共24个基本族，基本解法是536种，考虑旋转32种，答案也是17152种。

江苏卫视《最强大脑之燃烧吧大脑》曾有一关即为“数字谜图”，每队两名选手分工协作，一位破译色彩密码，一位根据密码完成阿基米德十四巧板拼图。

1.分类加法计数原理： 2.分步乘法计数原理：

3．排列的概念： 4．排列数的定义：

二、讲解新课：【来源：全,品…中&高*考*网】

解排列问题问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法。当问题的反面简单明了时，可通过求差排除采用间接法求解；另外，排列中“相邻”问题可以用“捆绑法”；“分离”问题可能用“插空法”等．

例1、欧冠赛事正在进行周四凌晨皇马两回合总比分4:3战胜尤文图斯挺进四强，如果你是主帅齐达内，球队名单共有6名后卫、7名中场、4名前锋、3名门将，下一场半决赛首发计划排出一个4331阵型（4名后卫、3名中场、3名前锋、1名门将），请问共有多少种选择？

例2、

某班劳动后6个人排队照相留念（小组讨论、组长发言总结）．

(1)

若分成两排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种排法？

特殊元素、位置优先考虑

(2)若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？|科|网]

相邻问题捆绑处理

（3）若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？

不相邻问题插空处理

(4) 若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？

分类加法、正难则反

分析(1)先确定甲的排法，有P2种；再确定乙的排法，有P4种；最后确定其他人的排法，有P4种．因为这是分步问题，所以用乘法原理，有P2·P4·P4种不同排法．

(2)采用“捆绑法”，即先把甲、乙两人看成一个人，这样有P5种不同排法．然后甲、乙两人之间再排队，有P2种排法．因为是分步问题，应当用乘法原理，所以有P5·P2种排法．

(3)采用“插入法”，把3个女生的位子拉开，在两端和她们之间放进4张椅子，如

____女____女____女____，再把3个男生放到这4个位子上，就保证任何两个男生都不会相邻了．这样男生有P4种排法，女生有P3种排法．因为是分步问题，应当用乘法原理，所以共有P4·P3种排法．

（4）P5+P4P4P4=120+4×4×24=504(种) [114114525233335114或法二：(淘汰法)P6-2P5+P4=720-240+24=504(种) 654解(1)P2·P4·P4=2×4×24=192(种) (2)P5·P2=120×2=240(种) (3)P4·P3=24×6=144(种)3352114[来源:Z&xx&k.Com]

(4)P5+P4P4P4=120+4×4×24=504(种) 或法二：(淘汰法)P6-2P5+P4=720-240+24=504(种) 例3. 介绍四色问题激发学生探索数学问题的兴趣：任意一幅地图都可以用四种颜色染色，使得没有两个相邻的国家染的颜色相同。 如图，用四种颜色给五个区域着色，相邻的区域不能使用同一种颜色，共有多少种着色方法？

654511411 52 35 3 44 2

三、课堂小节：

解排列问题问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法。当问题的反面简单明了时，可通过求差排除采用间接法求解；另外，排列中“相邻”问题可以用“捆绑法”；“分离”问题可能用“插空法”等

四、课堂练习：

1、1、某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？

2. 用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

1

解法 1 ：分步乘法计数原理，所求的三位数有A9×A92=9×9×

8=648（个） .

322解法 2 ：分类加法计数原理，符合条件的三位数有：A9 =648个．

+A9+A9

32解法 3

：考虑对立面，即所求的三位数的个数是A10-A9=10×9×8-9×8=648. &X&X&K]

3、高三某班需要安排毕业晚会的4个音乐节目、2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是(

) A．1 800

B．3 600

C．4 320

D．5 040 解析：选B

利用插空法，先将4个音乐节目和1个曲艺节目全排列，有A55种，然后52从6个空中选出2个空将舞蹈节目插入，有A2A6＝3 600种排法．

6种排法，所以共有A5·

4．某一天的课表有7节课，其中上午5节，下午2节，要排语文、数学、外语、体育、物理、化学、政治七节课，要求数学必须排在上午，上午不排体育，共有多少种不同的排法？

解法:5*A54*A22=

5．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有(

) A．20种

C．40种

B．30种

D．60种

解析：选A

分类完成，甲排周一，乙、丙只能从周二至周五这4天中选2天排，有2A24种安排方法；甲排周二，乙、丙只能从周三至周五这3天中选2天排，有A3种安排方法；甲排周三，乙、丙只能排周四和周五，有A22种安排方法．由分类加法计数原理可知，共有22A24＋A3＋A2＝20种不同的安排方法．