信息技术应用 μ，σ对正态分布的影响第一课时导学案

基于“卡西欧图形计算器FX-CG20”下的一节教学设计

---“正态分布”

授课教师：固原市第五中学武琨琨 一、内容和内容解析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版选修2-3中的2.4《正态分布》第一课时，属于新授概念课．正态分布是选修2-3第二章随机变量及其分布的最后一节，本节课内容是在学生学习了离散型随机变量及其分布的基础上进行研究的，正态分布的随机变量是一种连续型随机变量，这让学生对随机变量由离散到连续有一个深入的认识.正态分布是高中学习内容中唯一一种连续型分布，它反映了连续型随机变量的分布规律，离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用分布密度函数（曲线）描述，本节课是对本章知识体系的一个完善，也是必修3统计和概率知识的一种拓展.同时本节课内容反映了数形结合的思想方法，以及统计思维与确定性思维的差异. 生活中除了离散型随机变量更多的是连续型随机变量的例子，因此正态分布在统计中是很常用的分布，它能刻画很多随机现象，广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中.从形式看，它属于概率论的范畴，但同时又是统计学的基石，它在概率和统计中占有重要的地位.一方面，本节课内容为学生初步应用正态分布知识解决实际问题提供了理论依据；另一方面，正态分布具有许多良好的性质，许多分布都可以用正态分布来近似描述，因此在理论研究中，正态分布占有很重要的地位.

二、教学目标设置 1、通过采用卡西欧图形计算器统计出生活中学生身高、体重、测量误差、用水量等随机变量的样本频率分布直方图，作出概率密度曲线，感受正态曲线的特征。

2、理解连续型随机变量的特征，能描述出概率密度函数的作用，借助图形计算器利用正态分布密度函数的图象对性质进行合情猜想，部分学生能从代数推理证明正态曲线所具有部分性质。

3、通过数学史介绍正态分布密度函数，感受数学文化；通过数据的分析，渗透概率统计思想。

4、培养学生合作意识、提高交流表述能力。

三、学生学情分析

本班学生人手一台卡西欧图形计算器FX-CG20的图形计算器，已经能熟练的运用图形计算器统计数据、作出所给数据的频率分布直方图和频率分布折线图及概率密度曲线，能根据频率分布直方图和频率分布折线图初步分析数据的分布规律，具有一定的统计思想.部分学生会用数形结合思想方法研究一些简单的数学问题，能够收集、整理和分析一些简单的统计问题.但是，本节课需要学生由离散型随机变量到连续型随机变量，由离散型随机变量的分布列得到连续型随机变量的分布密度函数，这对学生来说是一个挑战，如何认识正态曲线的特点及其表示的意义也是学生学习的难点.正态曲线的特点和意义学生画频率分布直方图和频率分布折线图以及图形计算器的探究活动来学习，正态分布密度函数的得出需要教师给予适度的指导. 基于以上教学目标，确定本堂课的难点为：探索正态分布密度曲线性质；教学重点：正态分布密度曲线的性质

四、教学策略分析

传统的教学过程困难在于学生缺少技术手段，缺少工具去发现、去猜想。图形计算器FX-CG20的统计及函数图像功能和动态演示功能使得为学生探究这个课题提供很好的技术支持。本节课学生借助图形计算器画频率分布直方图和频率分布折线图的活动.通过

组距不断缩小；样本容量增大，引出连续型随机变量的概率密度曲线，借助于图象数形结合探求正态曲线特点及其所表示的意义。

教学路线图： Ⅰ 从德国10马克面钞高斯的头像及正态曲

回顾历史：板书课题

线引出研究的课题，渗透数学史知识 Ⅱ 作测量误差、用水量等随机变量的样本频统计数据：感知特征

率分布直方图，作出概率密度曲线，感受正态曲线的特征，给出正态分布的定义

合作探究：论证猜想

Ⅲ 利用图形计算器对正态曲线的性质进行猜想并进行代数验证

归纳结论，展示成果

Ⅳ 上台展示成果，结合图形计算器作图验证

1

五、教学过程设计

一、引入导出概率密度函数（预估10分钟）

1、情境引入

展示德国10马克面钞高斯的头像及正态曲线，介绍数学家高斯，板书课题

【设计意图】渗透数学史知识，引出研究的课题，

2、学生展示课前收集的生活中随机事件的样本频率分布直方图；教师展示高尔顿板试验。

【设计意图】以实际生活的例子激发学生学习探究的兴趣，直观感受正态分布中间高、两边低的特点。

3、教师总结：一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布

4、从样本频率分布直方图中我们可以得到什么信息？（样本的分布）

追问：如何做会使我们预报更精确？ 【设计意图】引出两点：组距不断缩小；样本容量增大，引出离散型随机变量，

与连续型随机变量的区别。

教师讲解;取定具体的数时，随机变量x的取值是可数可列的，随机变量x为离散型随机变量，当样本样本容量增到无限大时，x的取值可能会是无限种且不可列的情况，当随机变量x可以取某个区间的任意一个值时，随机变量x为连续型随机变量, 5、若x可取a,b之间的任何一个值时，组距不断缩小，频率分布折线图会有什么样的变化？（教师展示）

【设计意图】这个步骤实现了由离散型随机变量到连续型随机变量的过渡，突破学生由离散到连续认知上的障碍.通引出概率密度曲线, 概率密度函数的概念。

二、正态曲线的图象性质研究（预估25分钟）

1、指导学生在图形计算器上作出相应的正太分布曲线，思考概率密度曲线能否刻画随机变量在a,b上的概率？

连续型随机变量x在a,b的概率，P(axb)f(x)dx

ab

2

【设计意图】让学生描述概率密度曲线的意义，引出概率密度函数的概念。

2、对于这条钟形曲线，早在十八世纪30年代，棣莫弗、斯特灵等数学家经过十几年的努力，应用求导、对数、无穷级数、积分、变量代换等数学方法就推导出这条钟形曲线就是函数参数，我们称机变量x的平均值，的图象，其中和（）为为随的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线. 其中为标准差.

【设计意图】对高中生学生来说，正态分布密度函数的推导是十分困难的，因此，从数学史的角度介绍正态分布密度曲线的解析式，既使学生易与接受又渗透了数学文化数学文化. 正态曲线一方面是函数的图象，另一方面正态曲线是刻画随机变量的概率分布规律，因此我们可以从函数和概率两个方面探究正态曲线的特点.

问题：结合的解析式及概率的性质，说一说正态曲线都有哪些特点？预设学生活动：学生可以从函数的定义域、最值和对称性等方面探究曲线的特点，也可以利用图形计算器，画出函数的图象探究曲线的特点.

（1）

（2）

（3）

曲线在（4）

处达到峰值

正态曲线特点

曲线位于轴上方，与轴不相交

曲线是单峰的，它关于直线对称

曲线与轴之间的面积为1

为了调动学生的探究热情，采用组内合作，组间竞争的学习方式，分组讨论后采用小组选派代表的方式交流探究成果.

3

【设计意图】加深对正态曲线特点的认识，锻炼了学生表达能力.采用生生互动小组合作学习，培养学生的合作精神和竞争意识.

问题：正态分布中的参数完全由和和可以用样本的均值和标准差去估计，正态分布确定，如何研究两个参数对正态曲线的影响？具体如何操作？

预设学生活动：需要控制变量，让（或图象，观察正态曲线的变化.

当一定时

当一定时

）固定，作出（或）取不同值的曲线的位置由曲线形状由确定，曲线随着确定，

的变化而沿轴平移

越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；

越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散

让学生明确任务之后请同学们分组讨论完成正态曲线特点的探究，考虑到各组的水平可能有所不同，教师巡视，对个别组做适当的指导.

【设计意图】让学生通过自主探索、小组合作交流的方式探究正态曲线的特点，突出了本节课的重点，也调动了学生学习的热情和主动性，提高合作交流的意识和能力. 三、例题讲解

2

【例1】已知随机变量服从正态分布N(2，)，P(≤4)0.84，则P(≤0)

四、归纳小结

为了进一步培养学生的概括和语言表达能力，课堂小结设置了2

个问题：（1）本节课我们学习的知识有哪些？（2）在正态曲线、正态分布概念

4

的得出和正态曲线特点的探究上，我们用了哪些研究问题的方法，体现了哪些数学思想？我们用一节课的时间认识了正态曲线及其所表示的意义，事实上，从历史上看，正态分布从1733年问世到作为分析统计数据的概率模型经历了100多年，经过棣莫弗、高斯、凯特莱和高尔顿等很多科学家的辛苦努力.课后请同学们查阅相关的资料，了解正态分布的发展史.

【设计意图】让学生回顾本节课所学内容以及研究方法，有利于学生系统地掌握所学内容，有利于体会各种研究数学的方法之间的区别和联系以及其中蕴含的数学思想.让学生了解正态分布的历史，渗透数学史和数学文化.

五、布置作业（1）课本P75 A组1；（2）画出课上使用过的身高、体重、成绩等数据的正态曲线，并估计参数的值；（3）请同学们查阅相关的资料，了解正态分布的发展史，以小组为单位对某个科学家的观点或在正态分布方面的贡献写一个简介.

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