2.2.3 两条直线的位置关系第二课时教学设计

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定

一、教材分析

(一) 教材的地位和作用：

本节内容是讲过直线的倾斜角与斜率后的第一节课，是解析几何内容的起始课，其内容、思想、方法的引入讲解对本章及数学都有着不可忽视的启迪、引导、探究的意义。

（二）数学思想方法分析

1、数形结合思想2、直线和方程思想3、特殊性与一般性的辨证思想

二、教学目标：

1、通过本节的学习，掌握用代数的方法判定两条直线平行或垂直。

2、通过研究两条直线平行或垂直的条件，初步培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及数形结合的能力。

3、通过数学活动，培养学生用“联系”的观点看问题，进一步增强代数与几何的联系，培养学生学好数学的信心。

三、教学重、难点：

教学重点：利用斜率判定两条直线平行或垂直。

教学难点：判定两条直线互相垂直与平行时对斜率与倾斜角的讨论。

突破方法：充分利用多媒体教学课件演示动态效果，突出倾斜角为90°与0°时两条直线相互位置关系的变化，加强图形的直观性，同时增加课堂容量。

四、教学流程

回顾旧知，导入新课

探究两条直线平行的

条件及其初步应用

新知探究，推进新课

探究两条直线垂直的

条件及其初步应用

分组活动，辨析讨论

预备练习，机动处理

总结反思，布置作业

小小魔术，激发兴趣

五、教学过程设计

（一）通过练习，导入新课

在上一章中，我们系统地学习了空间中点、线、面的位置关系，重点学***行与垂直的判定，今天，让我们一起从空间回到平面，来研究平面内两条直线的位置关系。

首先，请大家做一道练习：已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2)，试判断直线AB与PQ的位置关系。

生：通过作图，大家能够判定两条直线平行。

师：你能确定答案一定是正确的吗？几何图形中，点没有大小之分，直线没有粗细之分，可是我们画出的直线却有粗细之分，而且由于我们选取的刻度不同，画出的图形精准度也不同，因此仅靠几何直观有时也会出问题，你的眼睛可能会欺骗你，那么，我们能不能用代数的方法判定两条直线的位置关系呢？哪个量能够担此重任呢？

生：斜率

师：你是怎么想到这个量的呢？

生：因为斜率能够描述直线的倾斜程度

（二）新知探究，推进新课

1、探究两条直线平行的条件及其初步应用

思考1：l1∥l2时，k1与k2满足什么关系呢？

（1）动手、观察、讨论、推理

①生口述师板演：若l1∥l2则12

可得tan1 =tan2，即k1 =k2

反之，若k1 =k2，则tan1 =tan2

，

可得12，即l1∥l2

结论：l1∥l2k1=k2

师：有特殊情况吗？两条直线斜率相等，它们一定平行吗？

生：k1=k2时，l1与l2也有可能重合

师：对。所以前提是两条不重合的直线l1，l2。

设计意图：引导学生数形结合，并为后面的内容做铺垫（可能会有学生作出两条垂直于x轴的直线），

师：那么上述结论对于任意两条直线恒成立吗？两条直线平行，它们的斜率一定相等吗？

生：当l1，l2时，k1，k2都不存在

师：对。所以，前提是设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2

②多媒体演示：如图，利用几何画板动态演示，直观感知l1∥l2时k1与k2的关系.

练习1：已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2)试判断直线AB与PQ的位置关系，并证明你的结论. 解决开始提出的问题， 变式引申：已知A(1,3), B(5,7), C(10,12)三点，这三点是否在同一条直线上，为什么？

请全体同学在练习本上完成，然后请一位同学口述，师生评析

练习2：已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3),试判断四边形ABCD的形状,并给出证明

展示两个学生的不同做法，一个学生直接画图，另一个同学直接计算k1与k2，教师肯定二者的做法后，引导大家发现方法1缺少精准性，方法2缺少直观性，若能把二者结合起来就更好了，自然引出我国著名数学家华罗庚先生的一首诗：形缺数时难入微，数缺形时少直观,数形结合百般好，割裂分家万事休。可见数形结合优越性与重要性，二者相互转化，相辅相成，数形结合的方法要贯穿我们整章乃至整个数学的学习，希望大家在后续的学习中不断地体会最终能够达到熟练应用

2、探究两条直线垂直的的条件及其初步应用

师：通过刚才的研究，我们知道，当l1∥l2时k1=k2，那么，l1与l2不平行即相交时，k1与k2自然就不相等了，而相交中有一种特殊的关系——垂直，下面我们就来研究：l1⊥l2时，k1与k2满足什么关系?

师：大家能类比上面的研究方法自己去研究吗？

生：

师：这个公式我们没学过，那能不能把取一些特殊值算一算呢？如145，2135；130，2120；160，2150

生：k1 =-1，k2=1；k1 =-1，k2=1；k1 =-1，k2=1，发现k1.k2=-1 多媒体演示：利用几何画板动态演示，验证猜想.

师：tan()

⑥归纳结论：

l1⊥l2



k1k2=-1

师：同样地，上述结论有需要特别注意的地方吗？

生：当k1 ，k2 中一个为0，另一个不存在时，两直线也互相垂直

练习3：已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(6,-6)试判断直线AB与PQ的位置关系，并证明你的结论.

练习4：已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3)三点，试判断⊿ABC的形状。

练习4有的同学做的慢，有的快，快的同学是因为先画图初步判定C为直角，所以只算了两条直线的斜率，而慢的同学却因为没画图无法锁定目标而算了三条

3、辨析讨论

（1）、判断下列各小题中的两条直线l1与l2的位置关系

①

l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)；

②

l1经过点A(-3,2)，B(-3,10)，l2经过点M(5,-2) , N(5,5); ①

l1的斜率为-10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；

②

l1经过点A(3,4)，B(3,100)，l2经过点M(-10,40)，N(10,40)

5、小小魔术，激发兴趣：

6、总结反思：

1、怎样判断两条直线是否平行？垂直？需要注意什么？

学生回答，互相补充，教师进行点评

教师总结：本节课的四道例题都采取先作图直观感知直线间的位置关系或图形特征，然后用代数运算的结果来反映这种垂直或平行的关系，最终解决几何问题，这就是解析几何的思想，即用代数方法来解决几何问题。