二 综合法与分析法板书设计

直接证明与间接证明

一、直接证明

内容

定义

实质

综合法

利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立。

由因导果(顺推证法) 分析法

从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的

充分条件

，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件，定理，定义，公理等)为止．

执果索因

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因为…所以…或由…得…

要证…只需证…即证…

二、间接证明

反证法：假设原命题不成立

(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法．

例1：用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设

(

) A．三个内角都不大于60°

B．三个内角都大于60°

C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°

解：假设为：“三个内角都大于60°”．选B。

例2：若函数F(x)＝f(x)＋f(－x)与G(x)＝f(x)－f(－x)，其中f(x)的定义域为R，且f(x)不恒为零，则

(

) A．F(x)、G(x)均为偶函数

B．F(x)为奇函数，G(x)为偶函数

C．F(x)与G(x)均为奇函数

D．F(x)为偶函数，G(x)为奇函数

解：由F(x)＝f(x)＋f(－x)，G(x)＝f(x)－f(－x)知F(x)＝F(－x)，G(－x)＋G(x)＝0.选D。

例3：命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ”的证明：

“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”过程应用了

(

) A．分析法

B．综合法C．综合法、分析法综合使用

D．间接证明法

解：因为证明过程是“从左往右”，即由条件⇒结论．

33例4：用反证法证明命题“如果a＞b，那么a＞b”时，假设的内容是________．

3333解：“如果a>b，那么a>b”若用反证法证明，其假设为a≤ b. 例5：如果aa＋bb＞ab＋ba，则a、b应满足的条件是________．

解：∵aa＋bb＞ab＋ba⇔(a－b)2(a＋b)＞0⇔a≥0，b≥0且a≠b. 第

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例6：设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x＜0)，则a与b大小关系为

(

) A．a＞b

B．a＜b

C．a＝b

D．a≤b

解：∵a＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，而b＝ex＜e0＝1，故a＞b. bd例7：p＝ab＋cd，q＝ma＋nc·＋(m、n、a、

b、c、d均为正数)，则p、q的大小为

(

) mn

A．p≥q

B．p≤q

C．p＞q

D．不确定

madnbc解：q＝ab＋＋＋cd≥ab＋2abcd＋cd＝ab＋cd＝p. nm例8：已知△ABC三边a，b，c的倒数成等差数列，证明：B为锐角．

a2＋c2－b2证明：要证明B为锐角，根据余弦定理，也就是证明cos B＝>0，即需证a2＋c2－b2>0. 2ac22222222由于a＋c－b≥2ac－b，要证a＋c－b>0.只需证2ac－b>0.∵a，b，c的倒数成等差数列，

112∴＋＝，即2ac＝b(a＋c)．∴要证2ac－b2>0.只需证b(a＋c)－b2>0，即b(a＋c－b)>0. acb上述不等式显然成立．∴B必为锐角．

11例9：用分析法证明：若a>0，则

a2＋2－2≥ a＋－2. aa1111证明：要证

a2＋2－2≥a＋－2，只要证

a2＋2＋2≥a＋＋2. aaaa22111111222a2a2a∵a>0，故只要证，即a＋＋4 a＋＋4≥a＋2＋＋22

222＋2，2aaaaaa11111从而只要证2 a2＋2≥ 2a，只要证4a22≥2a222，即a2＋2≥2.

aaaaa21而不等式a2＋2≥2显然成立，故原不等式成立．

a例10：用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为(

) A．a，b，c中至少有两个偶数

B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数

C．a，b，c都是奇数

D．a，b，c都是偶数

解：“恰有一个偶数”的对立面是“没有偶数或至少有两个偶数”．答案：B 111例11：设x、y、z>0，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a、b、c三数

(

) yzx

A．至少有一个不大于2

B．都小于2

C．至少有一个不小于2

D．都大于2 111解：假设a、b、c都小于2，则a＋b＋c<6.而事实上a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥2＋2＋2＝6与假设矛盾，

xyz∴a，b，c中至少有一个不小于2. 111例12：(1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋≤＋＋xy；

xyxy(2)设1

又[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1] xyxy＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1) ∵x≥1，y≥1，∴(xy－1)(x－1)(y－1)≥0.从而所证不等式成立．

111(2)设logab＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得logca＝，logba＝，logcb＝，logac＝xy. 于是，所要证明xyxy111的不等式即为x＋y＋≤＋＋xy，其中x＝logab≥1，y＝logbc≥1.

故由(1)可知所要证明的不等式成立．

xyxy例13：分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证b2－ac<3a”索的因应是(

)A．a－b>0

B．a－c>0

C．(a－b)(a－c)>0

D．(a－b)(a－c)<0 22222222解：b－ac<3a⇔b－ac<3a⇔(a＋c)－ac<3a⇔a＋2ac＋c－ac－3a<0⇔－2a2＋ac＋c2<0 ⇔2a2－ac－c2>0⇔(a－c)(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0.答案：C 2222例14：要证：a＋b－1－ab≤0，只要证明(

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a4＋b4a＋b2A．2ab－1－ab≤0

B．a＋b－1－≤0

C.－1－a2b2≤0

D．(a2－1)(b2－1)≥0

22解：因为a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0.答案：D 例15：用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a、b、c中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是(

) A．假设a、b、c都是偶数

B．假设a、b、c都不是偶数

C．假设a、b、c至多有一个偶数

D．假设a、b、c至多有两个偶数

解：“至少有一个”的否定“都不是”．答案：B 例16：设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x＜0)，则a与b大小关系为(

) A．a＞b

B．a＜b

C．a＝b

D．a≤b

x0解：∵a＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，而b＝e＜e＝1，故a＞b.答案：A x1＋x2fx1＋fx2例17：已知函数y＝f(x)的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D(x1≠x2)，都有f()<，22则称y＝f(x)为D上的凹函数．由此可得下列函数中的凹函数为(

) A．y＝log2x

B．y＝x

C．y＝x2

D．y＝x3

2222x1＋x2fx1解：可以根据图象直观观察；对于C证明如下：欲证f()<222＋fx2＋x2x1x2x12，即证<.222222即证(x1＋x2)<2x21＋2x2.即证(x1－x2)>0.显然成立．故原不等式得证．答案：C 例18：已知点An(n，an)为函数y＝x2＋1图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为________．

1解：由条件得cn＝an－bn＝n2＋1－n＝2，∴cn随n的增大而减小．∴cn＋1

n＋1＋n例19：设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1. 其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是______．(填序号) 12解：若a＝，b＝，则a＋b>1，但a<1，b<1，故①推不出；

23若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；

若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，

反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1. 答案：③

例20：设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，

其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0. (1)证明l1与l2相交；(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上．

(1)反证法．假设l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1＝k2.代入k1k2＋2＝0，得k＋2＝0，

此与k1为实数的事实相矛盾．从而k1≠k2，即l1与l2相交．

2x＝，k2－k1y＝k1x＋1，22(2)法一

：由方程组解得交点P的坐标(x，y)为而2x2＋y2＝2()＋k－kk＋k21y＝kx－1，212y＝k2－k1

222k2＋k128＋k22＋k1＋2k1k2k1＋k2＋4()＝22＝22＝1.此即表明交点P(x，y)在椭圆2x2＋y2＝1上．

k2－k1k2＋k1－2k1k2k1＋k2＋4

y－1＝k1x法二：l1与l2的交点P的坐标(x，y)满足，故知x≠0，从而y＋1＝k2x

y＋1k＝x.2y－1k1＝，x

代入k1k2＋2＝0，得y－1y＋1·＋2＝0，整理后，得2x2＋y2＝1，

所以交点P在椭圆2x2＋y2＝1上．

xx

113例21：在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若＋＝，试问A，B，Ca＋bb＋ca＋b＋c第

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是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由．若成等差数列，请给出证明．

解：A、B、C成等差数列．证明如下：

a＋b＋ca＋b＋c113ca∵＋＝，∴＋＝3.∴＋＝1，∴c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，

a＋bb＋ca＋b＋ca＋bb＋ca＋bb＋ca2＋c2－b2ac1222∴b＝a＋c－ac.在△ABC中，由余弦定理，得cosB＝＝＝，

2ac2ac2∵0°

例22：已知{an}是正数组成的数列，a1＝1，且点(an，an＋1)(n∈N*)在函数y＝x2＋1的图象上．

(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足b1＝1，bn＋1＝bn＋2an，求证：bn·bn＋2

故an＝1＋(n－1)×1＝n. －－(2)由(1)知，an＝n，从而bn＋1－bn＝2n.bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝2n1＋2n2＋…＋2＋1－2nn＋＋＋＋＋nn＋21＝＝2－1.因为bn·bn＋2－b2－1)－(2n1－1)2＝(22n2－2n2－2n＋1)－(22n2－2·2n1＋1)n＋1＝(2－1)(21－22＝－2n<0，所以bn·bn＋2

解：f(a)＋f(c)>2f(b)．证明如下：因为a，b，c是不相等的正数，所以a＋c>2ac. 因为b2＝ac，所以ac＋2(a＋c)>b2＋4b.即ac＋2(a＋c)＋4>b2＋4b＋4.从而(a＋2)(c＋2)>(b＋2)2. 因为f(x)＝log2x是增函数，所以log2(a＋2)(c＋2)>log2(b＋2)2.即log2(a＋2)＋log2(c＋2)>2log2(b＋2)．

故f(a)＋f(c)>2f(b)．

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