1.1 回归分析的基本思想及其初步应用教学活动设计方案

1.1回归分析的基本思想及其初步应用（一）

教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：了解线性回归模型与函数模型的差异，了解判断刻画模型拟合效果的方法－相关指数和残差分析. 教学难点：解释残差变量的含义，了解偏差平方和分解的思想.

教学过程：

一、复习准备：

函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：收集数据作散点图求回归直线方程利用方程进行预报. 二、讲授新课：

(一）回顾旧知

1.定义：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。



对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析。

2.回归直线方程：

所求直线方程

ybxa叫做回归直线方程；ˆ=b(xi=1nnix)(yiy)=ixyii=1nninxynx2,

(xi=1x)2xi=12iˆxa=y-b

3.

相关系数(线性相关的强弱）

r=(xx)(yy)iii=1n(xx)(yy)2iii=1i=1nn2

(1)|r|≤1．(2)|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小．

（二）教学例题：

①

例1

从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：

2

3

4

5

6

7

8 编

号

1 165

157

170

175

165

155

170 身高/cm 165

57

50

54

64

61

43

59 体重/kg

48 求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重. （分析思路教师演示学生整理）

7060

5040

30

20100150155160165身高/cm170175180体重/kg

第一步：作散点图

第二步：求回归方程

第三步：代值计算

②

提问：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？

不一定，但一般可以认为她的体重在60.316kg左右. ③

解释线性回归模型与一次函数的不同

事实上，观察上述散点图，我们可以发现女大学生的体重y和身高x之间的关系并不能用一次函数ybxa来严格刻画（因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身高和体重的关系）. 在数据表中身高为165cm的3名女大学生的体重分别为48kg、57kg和61kg，如果能用一次函数来描述体重与身高的关系，那么身高为165cm的3名女在学生的体重应相同. 这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，把这种影响的结果e（即残差变量或随机变量）引入到线性函数模型中，得到线性回归模型ybxae，其中残差变量e中包含体重不能由身高的线性函数解释的所有部分. 当残差变量恒等于0时，线性回归模型就变成一次函数模型. 因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式. （三）函数模型与回归模型之间的差别

函数模型：ybxa 回归模型：ybxae

残差分析与残差图的定义：

然后，我们可以通过残差e1,e2,,en来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析。

表1-4列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。

我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图。