2.2.4 点到直线的距离课时教学实录

《点到直线的距离》教学设计

一．

1．教材分析

⑴

教学内容

《点到直线的距离》人教B版数学教科书必修二第二章第四课时，主要内容是点到直线的距离公式的推导过程和公式应用．

⑵

地位与作用

本节对“点到直线的距离”的认识，是从初中平面几何的定性作图，过渡到了解析几何的定量计算，其学***台是学生已掌握了直线倾斜角、斜率、直线方程和两条直线的位置关系等相关知识．对“点到直线的距离”的研究，为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础，具有承前启后的重要作用．

2．学情分析

高一年级学生已具备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力．根据我校学生基础知识较扎实、思维较活跃，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高的学习现状和认知特点，本课采用类比发现式教学法．

3．教学目标

依据上面的教材分析和学情分析，制定如下教学目标．

⑴

知识技能

①

理解点到直线的距离公式的推导过程；

②

掌握点到直线的距离公式；

③

掌握点到直线的距离公式的应用．

⑵

数学思考

①

通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，渗透算法的思想；

②

通过灵活应用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力．

⑶

解决问题

①

通过问题获得数学知识，经历“发现问题—提出问题—解决问题”的过程；

②

由探索特殊情况下A=0或B=0以及点P2,0到直线xy0的距离，推广到探索点Px0,y0到直线AxByC0A2B20的距离的过程，使学生体会从特殊到一般、由具体到抽象的数学研究方法．

⑷

情感态度

结合现实模型，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学生的学习兴趣．

二．

教学重点、难点

1．教学重点

⑴

点到直线的距离公式的推导思路分析；

⑵

点到直线的距离公式的应用．

2．教学难点

点到直线的距离公式的推导思路和算法分析．

三．教学过程

教学

环节

新教

师

活

动

学

生

活

动

活动

说明

课引入

探创设情境：以学生熟知名胜“百脉泉”以及在建的绣源河的生活图片欣赏和设计猜想开场：把百脉泉的水引导到绣源河，怎样开挖河道才是最优设计呢？让学生直观感受几何要素——“点到直线的距离”，引发学习好奇心和研究兴趣．

回顾旧知：在初中，“点到直线的距离”的定义是什么？

P

1．

点到直线的距离公式的推导过程

（由特殊推广到一般、从具体推广到抽象）

问题1当A=0或B=0时,直线为y=y或x=x11的形式.如何求点到直线的距离？

l

l

板书：

现实模型：

①百脉胜景、绣源河畅想、模

型

河道最优设计

（图片欣赏）

直

观

②生活实例

（配景音乐：幸福泉）

学生：过点P作l的垂线在复索

思

考

当A0时，l:ByC0,PQy1y0

当B0时，l:AxC0,PQx1x0

问题2

如何求点P(2,0)到直线xy0的距离？

教师：请同学们作出图象后，思考有哪些计算方法，结果是什么？

方法①

利用三角函数

习旧垂足为Q，垂线段PQ知的PQ，的长度就是点P到直线l的基础上引距离．

人新点P与直线l上所有点的课．

连线中，垂线段最短．

由于

教材学生：当A=0时，根据点上对于点到直线的距离可过P点向l到直引垂线交l于Q点。并得到线的距离Q（x0,y1），所以|PQ|=|y1-y0|；

公式同理得到B=0时，的证明比|PQ|=|x1-x0| 较抽

象，所以补

充了

两个问题2 由浅学生作图后，结合图象，人深的具分组讨论怎样计算PQ．

体问

题，为

后面方法①

利用三角函数

推广学生：由于点和直线的位置到一

解：过点P作l的垂线PQ，垂足为Q,

l:xy0,QOP45,P2,0,22

OP2,PQOPsin4522教师：由于点和直线的位置比较特殊，直角三角形较为明显，并且出现了特殊角，所以可以利用三角函数来解决问题．但如果直线位置不具特殊性，三角运算将较为繁杂，故此法具有一定的局限性．

方法②

利用定义

解：过点P作l的垂线PQ，设垂足为Q.

l:xy0,P2,0,PQ:yx2,

探yxx1,x2x,.

y2xy1Q1,1,PQ

索

212012.

2

思

方法③

利用直角三角形的面积公式

教师：由于PQl，所以我们还可以想到什么方法来计算呢？

教师：应该如何构造三角形呢？

很特殊，可以利用三角函数来解决．

y

l:xy0

Q

·

·

O

P2,0

x

方法②

利用定义

（由于前面复习了点到直线的距离的定义，所以学生容易想到利用定义解决问题）

学生：利用定义解决问题．

．

方法③

利用直角三角形的面积公式

般情况作好铺垫．

考

补充的问题2，由于点和直线的位置非常特殊，所以学生容易回答，教师要鼓励学生利用多种学生：三角形面积公式．

方法解决学生：过点P作l、x轴的垂问题线PQ、PR，构造RtOPR．

2．

如何添作辅助线是学生的一个思维难

点，教师要强调：由垂直条件可以联想到三角形的高或直角三角形等知识，从而得到辅助线的添作方式．

解：过点P作l、x轴的垂线PQ、PR，交点为点Q、R.

y

P2，0，yx,R2,2,

OP2,PR2.RtOPR中，ORQPOPPR,

强数

结

R

的·

想

Q

·

·

O

P2,0

x

对于问题1的四种解法，

学生可能回答不完全，教师

要补充完整．

l:xy0

调形合思

探

22QP22,QP2.

问题3

如何求点P(x0,y0)到直线AxByC0的距离（A2B20）？

索

思考教师：你能否类比问题1、2解决本问？

教师：如果通过定义来计算，你的思路是什么？

抛出问题，自作启发性提示，不再代替学生去分析问题的证明过程，并在学生分组讨论时，深入到学生中间，收集学生对问题的认识及求解方法。

教师根据学生的回答做及时投影。

改变问题3

问题2中y

几何

Px0,y0

元素：·

点、直

线的

位置，·

P

0

引出x

问题O

3．

l:AxByC0

探索思考

学生分组讨论

并由小组中心发言人作总结发言：

依题意设

l1: B x-Ay＋D

=0，因为B x1-Ay1利用定义的算法

＋D

=0，所以l1:

Bx-Ay-Bx1+Ay1=0 P0(x0, y0)满足: Ax0+By0+C=0,

Bx-Ay-Bx+Ay=00110B2x1ABy1AC

x0A2B2

ABx1By1BC

y0A2B2

|PP|(xx)2(yy)200101

计算量太大，能否换种思路？

讲析一种方法：设而不求的

类比问题2，让学生独立思考问题3的过点P作l的垂线PP0，垂不同法,然足为P，垂线段PP0的长度后分就是点P到直线l的距离．

组讨之所以只需要求得P0点的坐论。后小标，而P0点的坐标可由直组中心发线l和PP0相交得到。

言人

做总

结性发言。

师生共同讨论

Ax0+By0+C=0,

Bx-Ay-Bx+Ay=00110

在到线距A(x0-x1)+B( y0-y1)= -Ax1-By1-C ---- ①

B(x0-x1)–A(y0-y1)=0 -------②

点直的离

问题解①+②：

2222

22(A+B)[(x0-x1)+( y0-y1)]=(Ax1+By1+

2

C)

(xx)2(yy)210122决

0AB

|Ax1By1c|22d|PP|(xx)(yy)0

0101A2B2

教师：对于A0或B0的特殊情况，你可以怎样处理？

(Ax1By1C)2

知识运用

2．点到直线的距离公式

师生共同总结：对于点到直点P(x0,y0)到直线AxByC0的距离

线的距离公式的理解

⑴

从运动的观点来看，点

|Ax1By1c|到直线的距离是直线上的0A2B2

点与直线上一点的连线的（其中A、B不同时为0）

最短距离；

⑵

使用点到直线的距离公

式的前提条件，是把直线的方程化成一般式方程．如果

给出的直线方程不是一般

式方程，应先将方程化成一

般式；

⑶若直线方程中系数

A0或B0的特殊情况，

距离公式仍然成立，但一般

公式的推导过程中，渗透算法的思想

前后呼应，使学生体会运用公式计算的简便性．

例1主要是通过直接将已知点的d|PP|

3．点到直线的距离公式的应用

情况下可以结合图形直接得到距离．

例1

解：⑴根据点到直线的距离公式，得

例1

求点P0(1,2)到下列直线的距离：

⑴2xy100;

⑵5x2;

分析：⑴2xy100;

可能会有学生在代人公式计算时，忘掉绝

对值符号．教师要给予纠正，强调距离是一个非负数．

⑵5x2;

d2(1)2102212

教材上的解法是结合图形直接得到点到直线的距离，也可能会有学生是直接代人公式计算，教师指出对于A0或B0的特殊情况，一般结合图形直接得到结论．

练习

1）P（—1，2）到直线2x+y-10=0的距离是______ 2）P（—1，1）到直线y=2x-2的距离是_________ 3）P（2，—3）到直线x+4= 0的距离是_________ 4）P（—2，3）到直线y= —2的距离是__________ 1025.5⑵解法①

因直线3x2平行于y轴，所以

d27(1).

55解法②

根据点到直线的7距离公式，得d.

5

学生较容易得到：

1、25

2、5

知识运5）已知点 (a,2)(a0)到直线l:xy30

3、6

的距离为1，则a等于（ ）

4、5

5、21

二、两条平行直线间的距离

两平行直线的距离定义：两条平行直线间的

y 距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段

的长. P

坐标代人公式计算，强调公式的形式记忆和前提条件．在此基础上，由浅入深。

练习题地实时训练能加深对公式的理解与应用。

l1

l2

Q x 用即是其中一条直线上任取一点,这个

点到另一条直线的距离.

o

例2（1）可转化两直线之间证明：设点P(x0,y0)是直线AxByC20⑵

两平行线间的距离可转距离化为其中一条直线上的一为点上任一点，则点P到直线AxByC10的个特殊点到另一条直线的到直线距Ax0By0C1距离．

距离为d.

离，22AB

渗透数学Ax0By0C20,Ax0By0C2,

思想

C1C2d.

22AB

两平行直线的距离公式：

例2

（1）求证：两平行直线

例2

师生共同总结：

⑴

应用公式的前提是应先l2:AxByC20,l1:AxByC10,将两直线方程化为一般形式，使对应系数A、B化为C1C2(A,B0且C1C2)的距离为d.

相等（两直线平行），再代22AB人公式计算；

l1:AxByC10,l2:AxByC20,(A,B0且C1C2)的距离为dC1C2AB22.

教师：在求两条平行线间的距离时，一般仍利用化归思想转化为直线上一特殊点到另一直线的距离来处理．

例2

（2）求平行线12x-5y-8=0与12x-5y+24=0之间的距离。

课堂练习

求下列两条平行线的距离：

⑴3x4y80,3x4y70;

（2）3x-4y+8=0,6x-8y-7=0

思考题:知点A(0,3),B(2,1),C(-2,0)，求例2教材

中是

以例题的

形式

出现的．

解：l1与l2的距离为

82432

d

2213125

练习

题地

实时训练课堂练习

能加学生独立完成

深对解：⑴

d3

公式3的理⑵d2

10解与

应用。

请其他同学分析错误原因．

△ABC 的面积

C o y A B x 学生独立完成

这两学生：设AB边上的高道简为h，则

单的SABC例题，1=ABh

使学2生能 通过AB，

3102222AB边上的高h就是点C到AB的距离。

AB边所在直线方程为

y3x0

1320即x+y-4=0。

点C到x+y-4=0的距离为h h=

1041125，

2因此，SABC=5

够进2一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性

课堂小结教师引导学生归纳总结本节课所学习的主要内容．

作业：基础题目：P89练习A部分

提高题目：B部分

（通过小结，使学生将本节课所学的知识系统化，使学生再次巩固知识，明确方法．）

学生归纳总结

本课主要学习了以下内容：

⑴

点到直线的距离公式的推导中不同的算法思路：利用定义的算法、设而不求的算法；

⑵

点到直线的距离公式：

点P(x0,y0)到直线AxByC0（其中A、B不同时为0）的距离

板书设计：

dAx0By0CAB22

说明：对于A0或B0的特殊情况时公式仍然适用．

⑶

应用点到直线的距离公式的前提条件．

课题：点到直线的距离

．问题1当A=0或B=0时,直线为y=y或x=x的形式. 111

如何求点到直线的距离？

．

问题1

如何求点P(2,0)到直线xy0的距离？

2

方法①

方法②

方法③

．

问题3

如何求点P(x,y)到直线AxByC0

300

A2B20）？

的距离（

方法①

利用定义的算法

方法②

设而不求的算法

点到直线的距离公式

4．典型例题

例1 例2

5．课堂练习

6．课堂小结

7．课后作业

设计说明：

1．对于这一节内容，有两种不同的处理方法：一种是仅让学生理解、记忆公式，直接应用而不讲公式的探寻过程，这样的教学不利于对学生数学思维的培养；另一种是本课所体现的方式，通过强调对公式的探索过程，提高学生利用代数方法处理几何问题的能力；

2．由于点到直线的距离公式的证明过程含字母运算，比较抽象．让学生的思路沿着由特殊到一般的方式证明结论，特别是增加了设而不求的数学方法，突出几何直观和数形结合的思想方法；

3．学生在练习中的“错误体验”将会有助于加深记忆，所以可将应用公式的前提条件等学生容易忽略的环节，设置在补充的例题练习中，以便达到强化训练的目的．