2.基本不等式教学设计第二课时

海南农垦加来高级中学数学组

人教A版4-5基本不等式(1) 教学目标

1.学会推导并掌握基本不等式定理；

2.能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题。

教学重难点

重点：基本不等式定理的证明及应用。

难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。

教学过程

一、创设情境

请同学们尝试用四个全等的直角三角形拼成一个“风车”图案，那“正方形”的图案又如何拼呢？

如图所示

22222 形的角度：S1(ab)ab2abS2当且仅当ab时，等号成立。

数的角度：由S1S2，即a2b22ab(ab)20，当且仅当ab时等号成立。

定理1：（重要不等式）如果a、b∈R，那么a 2＋b 2

≥2ab（当且仅当a＝b时取“＝”号）

证明：a 2＋b 2－2ab＝（a－b）2

当a≠b时，（a－b）2＞0，当a＝b时，（a－b）2＝0 所以，（a－b）2≥0

即a 2＋b 2

≥2ab

思考3：若当a0,b0时，分别用a,b代替ab2ab中的a,b，能得到什么结论？

a

＋b定理2（基本不等式）：如果a，b是正数，那么

≥ab

2（当且仅当a＝b时取“＝”号）

证明：∵（a

）2＋（b

）2≥2ab

∴a＋b≥2ab

22a

＋b，即

≥ab

2a

＋b显然，当且仅当a＝b时，

＝ab

2a

＋b说明：1）我们称

为a，b的算术平均数，称ab

为a，b的几何平均数，因而，

2此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. a

＋b2）a＋b≥2ab和

≥ab

成立的条件是不同的：前者只要求a，b都是实数，

2 2 2

上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去想一个风车，代表中国人民的热情好客。

思考1：根据上图，设直角三角形的两直角边长为a,b，则斜边长为a2b2，则外正方形的面积S1和

四个全等的直角三角形的面积S2分别等于多少？它们之间又存在怎样的关系？

思考2：当外正方形的面积和四个全等的直角三角形的面积相等时，a,b之间又有怎样的关系呢？

二、探究新知

1.分别从形与数的角度来解释上述外正方形的面积与四个全等直角三角形的面积的大小关系。

22222 外正方形面积为S1(ab)ab

而后者要求a，b都是正数. 3）

“当且仅当”的含义是充要条件. 注意：用基本不等式求某些函数的最值时，应同时具备三个条件：一正二定三相等。

三、学以致用

例1、（1）判断下列命题的对与错，对的打√，错的打×。

<1>函数yx四个全等直角三角形的面积为：S241ab2ab

22018年6月12日

2,xR的最小值为22。

x

海南农垦加来高级中学数学组

<2>函数ysinx（2）求函数y

2,x(0,)的最小值为22。

sinx2

4x,x3的最小值，并求出此时的x值。

x3例2、（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆 最短。最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，

菜园的面积最大，最大面积是多少?

四、小试身手

利用基本不等式求最值

（1）已知x0,y0，且281，求x+y的最小值。

xyxy（2）设x,yR,且xy2，求33的最小值。

变式：已知x0,y0，且x3y5xy，求3x4y的最小值。

五、课堂小结：

1、重要不等式

22（1）若a,bR,则ab2ab，当且仅当ab时，等号成立。

（2）若a0,b0，则ab2ab，当且仅当ab时，等号成立。

注意：（1）不同点：两个不等式的适用范围不同。

（2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。

注意：用基本不等式求某些函数的最值时，应同时具备三个条件：一正二定三相等。

六、课后作业

教材P10 习题1.1 第5,10题

2018年6月12日