1.1 回归分析的基本思想及其初步应用教学设计与反思

学习目标

1.了解回归分析的必要性及其一般步骤.2.了解随机误差的概念.3.会作散点图，并会求回归直线方程.4.利用残差分析来判断线性回归模型的拟合效果.5.掌握建立回归模型的基本步骤，并通过实例进一步学习回归分析的基本思想及其初步应用．

知识点一

回归分析的相关概念

思考1

相关关系是确定性关系吗？

思考2

请问产生随机误差的主要原因有哪些？

梳理

(1)回归分析是对具有____________的两个变量进行统计分析的一种常用方法．若两个变量之间具有线性相关关系，则称相应的回归分析为________________．

^^(2)线性回归方程为______________，且b＝__________________，a＝__________，其中x＝1n1nxi，y＝yi，__________称为样本点的中心，回归直线一定过样本点的中心．

nini＝1＝1(3)样本点散布在某一条直线的附近，而不是在一条直线上，所以不能用一次函数y＝bx＋a来描述它们之间的关系，而是用线性回归模型__________________来表示，其中__________为模型的未知参数，________称为随机误差，自变量x称为________变量，因变量y称为________变量．

知识点二

回归模型的模拟效果

思考

如何评价回归模型拟合效果的优劣？

梳理

残差

残差图

^把随机误差的估计值ei称为相应于点(xi，yi)的残差

作图时纵坐标为________，横坐标可以选为____________，或__________，或__________等，这样作出的图形称为残差图

残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合残差图法

适，这样的带状区域的宽度________，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高

残差平方和

残差平方和为________________，残差平方和________，模型的拟合效果越好

R2＝1－______________，R2表示________变量对于________变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归的效果越好

相关指数R

2

类型一

求线性回归方程

例1

某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：

x y (1)请画出上表数据的散点图；

^^^6

2

8

3

10

5

12 6 (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；

(3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．

^i＝1xiyi－nx·y^n2^n(相关公式：b＝，a＝y－bx) i＝1x2i－nx

反思与感悟

(1)求线性回归方程的基本步骤：

①列出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系．

②计算：x，y^nn22，xi，yi，xiyi. i＝1i＝1i＝1^n^^^③代入公式求出y＝bx＋a中参数b，a的值．

④写出线性回归方程并对实际问题作出估计．

(2)需特别注意的是，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归方程才有实际意义，否则求出的回归方程毫无意义．

跟踪训练1

假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计数据：

x y

由此资料可知y对x呈线性相关关系．

(1)求线性回归方程；

(2)求使用年限为10年时，该设备的维修费用为多少？

2

2.2

3

3.8

4

5.5

5

6.5

6 7.0

类型二

线性回归分析

例2

为研究质量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘米)的影响，对不同质量的6个物体进行测量，数据如表所示：

x y

(1)作出散点图并求线性回归方程；

(2)求出R2；

(3)进行残差分析．

引申探究

1．在条件不变的情况下，画出残差图．

2．当x＝35时，估计y的值．

5

7.25

10

8.12

15

8.95

20

9.90

25

10.9

30 11.8

反思与感悟

(1)该类题属于线性回归问题，解答本题应先通过散点图来分析两变量间的关系是否线性相关，然后再利用求回归方程的公式求解回归方程，并利用残差图或相关指数R2来分析函数模型的拟合效果，在此基础上，借助回归方程对实际问题进行分析．

(2)刻画回归效果的三种方法

①残差图法，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适．

②残差平方和法：残差平方和

(yi－yi)2越小，模型的拟合效果越好．

i＝1^n^i＝1

yi－yi2越接近1，表明回归的效果越好．

n③相关指数法：R＝1－ni＝12

yi－y2跟踪训练2

关于x与y有如下数据：

x y

^^2

30

4

40

5

60

6

50

8 70 有如下的两个线性模型：(1)y＝6.5x＋17.5；(2)y＝7x＋17.试比较哪一个拟合效果更好．

1．某产品在某零售摊位的零售价x(单位：元)与每天的销售量y(单位：个)的统计资料如下表所示：

x y

^^^^16

50

17

34

18

41

19 31 由上表可得线性回归方程y＝bx＋a中的b＝－4，据此模型预测零售价为15元时，每天的销售量为(

) A．51个

C．49个

B．50个

D．48个

2．下表是x和y之间的一组数据，则y关于x的回归直线必过(

)

x y

A.点(2,3)

C．点(2.5,4)

B．点(1.5,4) D．点(2.5,5) 1

1

2

3

3

5

4 7 3．若一组观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)之间满足yi＝bxi＋a＋ei(i＝1,2，…，n)，且ei恒为0，则R2为________．

4．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量x(单位：千箱)与单位成本y(单位：元)的资667料进行线性回归分析，结果如下：x＝，y＝71，x2＝79，xiyi＝1 481.则销量每增加i2＝i1i＝11 000箱，单位成本下降________元．

5．已知x、y之间的一组数据如下表：

x y

222(1)分别计算：x、y、x1y1＋x2y2＋x3y3＋x4y4、x1＋x22＋x3＋x4；

0

1

1

3

2

5

3 7 (2)已知变量x与y线性相关，求出回归方程．

回归分析的步骤

(1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；

(2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)；

^^^(3)由经验确定回归方程的类型(如果呈线性关系，则选用线性回归方程y＝bx＋a)；

(4)按一定规则估计回归方程中的参数；

(5)得出结果后分析残差图是否有异常(个别数据对应的残差过大，或残差呈现不随机的规律性等)，若存在异常，则检查数据是否有误或模型是否合适等．

答案精析

问题导学

知识点一

思考1

相关关系是一种不确定性的关系．

思考2

(1)所选用的模型不恰当；(2)忽略了某些因素的影响；

(3)存在测量误差．

n

xi－xyi－y^^^i＝1梳理

(1)相关关系

线性回归分析

(2)y＝bx＋a

n2i

xi－x＝1y)

(3)y＝bx＋a＋e

a和b

e

解释

预报

知识点二

思考

计算相关指数R2的值，R2越接近于1，效果就越好．

梳理

残差

样本编号

身高数据

体重估计

越窄

n^

yi－yi2n^i＝1

(y2越小

解释

预报

ii－yi)

＝1nyi

i－y2＝1题型探究

例1

解

(1)如图：

(2)4xiyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，

i＝1x＝6＋8＋10＋124＝9，y＝2＋3＋5＋64＝4，

4x2i＝62＋82＋102＋122＝344，

i＝1^y－bx(x，

158－4×9×414b＝＝＝0.7，

20344－4×92^^^a＝y－bx＝4－0.7×9＝－2.3，

^故线性回归方程为y＝0.7x－2.3. ^(3)由(2)中线性回归方程可知，当x＝9时，y＝0.7×9－2.3＝4，预测记忆力为9的同学的判断力约为4. 跟踪训练1

解

(1)由上表中的数据可得

x＝4，y＝5，x2i＝90，xiyi＝112.3，

i＝1i＝1555^i＝1xiyi－5x·y＝i＝1∴b＝x2i－5x^52112.3－5×4×5＝1.23，

90－5×42^∴a＝y－bx＝5－1.23×4＝0.08. ^∴线性回归方程为y＝1.23x＋0.08. ^(2)当x＝10时，y＝1.23×10＋0.08＝12.38. 即使用年限为10年时，该设备的维修费用为12.38万元．

例2

解

(1)散点图如图所示，由散点图知y对x呈线性相关关系，由上表中的数据可得x＝17.5，y＝9.487，

i＝1x2i＝2 275，xiyi＝1 076.2，

i＝1666^i＝1xiyi－6x

yxi2－6x6b＝

2i＝1

1 076.2－6×17.5×9.487＝＝0.183，

2 275－6×17.52^^∴a＝y－bx＝9.487－0.183×17.5＝6.285. ^∴线性回归方程为y＝6.285＋0.183x. (2)R2≈0.999 1. (3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正数据，重新建立回归模型；由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与质量具有线性关系．

引申探究

1．解

如图所示．

2．解

当x＝35时，y＝6.285＋0.183×35＝12.69. ^跟踪训练2

解

由(1)可得yi－yi与yi－y的关系如下表：

^yi－yi

yi－y

5^－0.5

－20

－3.5

－10

10

10

－6.5

0

0.5 20 ∴

(yi－yi)2＝(－0.5)2＋(－3.5)2＋102＋(－6.5)2＋0.52

i＝1＝155，

i＝1

(yi－y)2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1 000. 5^5i＝1

yi－yi2155＝1－＝0.845. 1 000∴R21＝1－i＝1

yi－y2^5由(2)可得yi－yi与yi－y的关系如下表：

^yi－yi

yi－y

5^－1

－20

－5

－10

8

10

－9

0

－3 20 ∴

(yi－yi)2＝(－1)2＋(－5)2＋82＋(－9)2＋(－3)2＝180，

i＝1i＝1

(yi－y)2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1 000. 5^5i＝1

yi－yi2180＝1－＝0.82. 1 000∴R22＝1－i＝1

yi－y252由于R21＝0.845，R2＝0.82,0.845>0.82，

2∴R21>R2. ∴(1)的拟合效果好于(2)的拟合效果．

当堂训练

1．C

2.C

3.1

4.1.818 2 5．解

(1)x＝0＋1＋2＋31＋3＋5＋7＝1.5，y＝＝4，

44x1y1＋x2y2＋x3y3＋x4y4＝0×1＋1×3＋2×5＋3×7＝34，

2222222x21＋x2＋x3＋x4＝0＋1＋2＋3＝14. 34－4×1.5×4(2)b＝＝2，

14－4×1.52^^^a＝y－b

x＝4－2×1.5＝1，

^故y＝2x＋1.