3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义教学设计

3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义

学习目标：1.掌握复数代数形式的加、减运算法则．(重点)2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．(易错点) [自

主

预

习·探

新

知] 1．复数加法与减法的运算法则

(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则

①z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；

②z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i. (2)对任意z1，z2，z3∈C，有

①z1＋z2＝z2＋z1；

②(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

2．复数加减法的几何意义

图3­2­1

→→如图3­2­1所示，设复数z1，z2对应向量分别为OZ1，OZ2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，→→向量OZ与复数z1＋z2对应，向量Z2Z1与复数z1－z2对应．

思考：类比绝对值|x－x0|的几何意义，|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是什么？

[提示]|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离．

[基础自测] 1．思考辨析

(1) 复数加法的运算法则类同于实数的加法法则．

(2)复数与复数相加减后结果为复数．

(

) (

) (

) (3) 复数加减法的几何意义类同于向量加减法运算的几何意义．

[答案]

(1)√

(2)√

(3)√

2．已知复数zi＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝(

) A．8i

C．6＋8i B．6 D．6－8i B

[z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6.] 3．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于(

) A．－1＋i C．i B．1－i D．－i A

[(1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i.故选A.]

1

4．已知复数z＋3i－3＝3－3i，则z＝(

) A．0 C．6 D

[∵z＋3i－3＝3－3i，

∴z＝(3－3i)－(3i－3)＝6－6i.] →→→5．已知向量OZ1对应的复数为2－3i，向量OZ2对应的复数为3－4i，则向量Z1Z2对应的复数为________. →→1－i

[Z1Z2＝OZ－OZ＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i.]

(1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________. (2)已知zi＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝________. [解析]

(1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i＝－2－i. (2)z1－z2＝[(3x－4y)＋(y－2x)i]－[(－2x＋y)＋(x－3y)i]＝[(3x－4y)－(－2x＋y)]＋[(y－2x)－(x－3y)]i＝(5x－5y)＋(－3x＋4y)i＝5－3i，

5x－5y＝5，所以－3x＋4y＝－3，B．6i D．6－6i →

解得x＝1，y＝0，

所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i，则z1＋z2＝1－i，

所以|z1＋z2|＝2. [答案]

(1)－2－i (2)2 [规律方法]

复数与复数相加减，相当于多项式加减法的合并同类项，将两个复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减

[跟踪训练] 1．计算：(1)(3＋5i)＋(3－4i)＝________. (2)(－3＋2i)－(4－5i)＝________. (3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝________. (1)6＋i (2)－7＋7i (3)－11i [(1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i. (2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋(2＋5)i＝－7＋7i. (3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋(－6－2－3)i＝－11i.]

(1)复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝2.则|z1－z2|＝________.

图3­2­2

(2)如图3­2­2所示，平行四边形OABC的顶点O、A、C对应复数分别为0、3＋2i、－2

2

＋4i，试求

→→①AO所表示的复数，BC所表示的复数；

→②对角线CA所表示的复数；

→→③对角线OB所表示的复数及OB的长度．

[解]

(1)由|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝2，知z1，z2，z1＋z2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|z1－z2|是这个正方形的一条对角线长，所以|z1－z2|＝2. →→→(2)①AO＝－OA，∴AO所表示的复数为－3－2i. →→→∵BC＝AO，∴BC所表示的复数为－3－2i. →→→②∵CA＝OA－OC. →∴CA所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. →1＋6＝37. [规律方法]

1．用复数加、减运算的几何意义解题的技巧

(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．

(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．

2．常见结论

在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB为平行四边形；若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．

[跟踪训练] 2．复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数. [解]

设复数z1，z2，z3在复平面内所对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点22→→→③对角线OB＝OA＋OC，它所对应的复数z＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i, |OB|＝D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，如图．

→→→则AD＝OD－OA＝(x，y)－(1,2) ＝(x－1，y－2)．

3

→→→BC＝OC－OB＝(－1，－2)－(－2,1)＝(1，－3)．

→→x－1＝1，∵AD＝BC，∴y－2＝－3

x＝2，解得y＝－1

，故点D对应的复数为2－i. [当

堂

达

标·固

双

基] 1. a，b为实数，设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为(

) A．1＋i

C．3 B．2＋i D．－2－i D

[∵z1＝2＋bi，z2＝a＋i，∴z1＋z2＝2＋bi＋(a＋i)＝0，所以a＝－2，b＝－1，即a＋bi＝－2－i] 2．已知z1＝2＋i，z2＝1＋2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于(

) A．第一象限 C．第三象限 B．第二象限

D．第四象限

B

[z＝z2－z1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i，实部小于零，虚部大于零，故位于第二象限．] 3．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________. 5

[|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝3＋4＝5.] 4．已知复数z1＝(a－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则＝________. a－a－2＝0，－1

[z1－z2＝(a－a－2)＋(a－4＋a－2)i(a∈R)为纯虚数，∴2a＋a－6≠0，2222222

解得a＝－1.] →→5．在复平面内，复数－3－i与5＋i对应的向量分别是OA与OB，其中O是原点，求向→→→量OA＋OB，BA对应的复数及A，B两点间的距离．

→→→→→→[解]

向量OA＋OB对应的复数为(－3－i)＋(5＋i)＝2.∵BA＝OA－OB，∴向量BA对应的复数为

(－3－i)－(5＋i)＝－8－2i.∴A，B两点间的距离为|－8－2i|＝＝217. －2＋－2

4