3.2.2 复数代数形式的乘除运算教学设计

3.2.2

复数代数形式的乘除运算

●三维目标

1．知识与技能

理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，了解共轭复数的概念．

2．过程与方法

理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化问题，通过运算过程体会这一变形本质意图．

3．情感、态度与价值观

利用多项式除法和复数除法类比，知道事物之间是普遍联系的．通过复数除法运算，培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力．

●重点难点

重点：复数代数形式的乘除法运算．

难点：复数除法法则的运用．

●教学建议

建议本节教学采用自学指导法，在学生自主学习的基础上可利用一下教学方法及手段完成本节教学：(1)类比分析法，通过对比多项式的乘法法则推出复数乘法法则．(2)归纳推理法，运用已有的多项式乘法法则和分母有理化及复数加减法的知识，通过归纳类比，推导复数除法法则．(3)合理、恰当地运用多媒体教学手段，将静态事物动态化，将抽象事物直观化，以突破教学难点．

●教学流程

创设问题情境，引出问题，引导学生思考两个复数如何进行代数形式的乘法与除法运算．让学生自主完成填一填，使学生进一步熟悉复数代数形式的乘法、除法运算的法则，及其满足的运算律．引导学生分析例题1的运算方法并求解，教师只需指导完善，解答疑惑并要求学生独立完成变式训练．由学生分组探究例题2解法，引导学生去发现in运算的周期性，及其应用方法．完成互动探究．

完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．学生自主完成例题3变式训练，老师抽查完成情况，对出现问题及时指导．通过易错辨析纠正运算中出现的错误．让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法．老师组织解法展示，引导学生总结解题规律．

1.掌握复数代数形式的乘、除运算．(重点) 课标解读

2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．(难点) 3．理解共轭复数的概念．(易错点)

【问题导思】

1．如何规定两个复数相乘？

【提示】

两个复数相乘类似于多项式相乘，只要在所得结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．

2．复数乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律吗？

【提示】

满足．

(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. (2)对于任意z1，z2，z3∈C，有

复数的乘法

交换律

结合律

乘法对加法的分配律

【问题导思】

z1·z2＝z2·z1

(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3

复数的除法与共轭复数

如何规定两个复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)相除？

z1a＋bia＋bic－diac＋bd＋bc－adi【提示】

z＝＝＝. c＋dic＋dic－dic2＋d22

(1)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d为实数，c＋di≠0)，z1，z2进行除法a＋bi运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式再把分子与分母都乘以c－dic＋diac＋bdbc－ad化简后可得结果：2＋i. c＋d2c2＋d2(2)共轭复数

如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用z表示．即z＝a＋bi，则z＝a－bi.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.

复数代数形式的乘除法运算

(1)(2013·课标全国卷Ⅱ)设复数z满足(1－i)·z＝2i，则z＝(

) A．－1＋i

B．－1－i

C．1＋i

D．1－i (2)(2013·大纲全国卷)(1＋3i)3＝(

) A．－8

(3)计算(1＋i62＋3i)＋＝________. 1－i3－2iB．8

C．－8i D．8i 【思路探究】

(1)先设出复数z＝a＋bi，然后运用复数相等的充要条件求出

a，b的值．

(2)直接利用复数的乘法运算法则计算．

(3)先计算1＋i2＋3i再乘方，且将的分母实数化后再合并．

1－i3－2i【自主解答】

(1)设z＝a＋bi，则(1－i)(a＋bi)＝2i，即(a＋b)＋(b－a)i＝2i. a＋b＝0，a＝－1，根据复数相等的充要条件得解得

b－a＝2，b＝1，∴z＝－1＋i.故选A. (2)原式＝(1＋3i)(1＋3i)2＝(1＋3i)(－2＋23i)＝－2＋6i2＝－8. 21＋i62＋3i3＋2i＋(3)法一

原式＝

52

＝i6＋6＋2i＋3i－6＝－1＋i. 521＋i62＋3ii＋法二

原式＝

23－2ii2＋3ii＝i6＋

2＋3i＝－1＋i. 【答案】

(1)A

(2)A

(3)－1＋i

1．复数的乘法类比多项式相乘进行运算，复数除法要先写成分式形式后，再将分母实数化，注意最后结果要写成a＋bi(a，b∈R)的形式．

2．记住以下结论可以提高运算速度

(1)(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i；

1－i1＋i(2)＝－i，＝i；

1＋i1－i1(3)i＝－i.

计算：

(1)(1－i)2；

1331(2)(－2＋2i)(2＋2i)(1＋i)；

(3)2i. 2＋i【解】

(1)(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i. 1331(2)(－2＋2i)(2＋2i)(1＋i) 3133＝(－4－4i＋4i＋4i2)(1＋i) 313＝(－4＋2i－4)(1＋i) 31＝(－2＋2i)(1＋i) 3311＝－2－2i＋2i－2

1＋31－3＝－2＋2i. (3)

(1)计算：虚数单位i的幂的周期性及其应用

2i2－i2＋4i242i＝＝5＝5＋5i. 2＋i2＋i2－i－23＋i22 013＋()；

1－i1＋23i1＋i(2)若复数z＝，求1＋z＋z2＋…＋z2 013的值．

1－i【思路探究】

将式子进行适当的化简、变形，使之出现in的形式，然后再根据in的值的特点计算求解．

i1＋23i221 0062【自主解答】

(1)原式＝＋[()]·() 1－i1－i1＋23i21＋i21 00621＋i1 006＝i＋()·2＝i＋i·2

－2i22－2＝－2＋2i

(2)1＋z＋z＋…＋z22 0131－z2 014＝，

1－z1＋i1＋i22i而z＝＝＝2＝i，

1－i1－i1＋i所以1＋z＋z＋…＋z

1．要熟记in的取值的周期性，要注意根据式子的特点创造条件使之与in联系起来以便计算求值．

2．如果涉及数列求和问题，应先利用数列方法求和后再求解．

在本例(2)中若z＝i，求1＋z＋z2＋…＋z2 013的值．

【解】

由题意知

1＋z＋z2＋…＋z2 013＝1＋i＋i2＋…＋i2 013

1·1－i2 0141－i4×503＋21－i2＝＝＝＝1＋i. 1－i1－i1－i∴原式＝1＋i.

共轭复数的应用

22 0131－i2 0141－i2＝＝＝1＋i. 1－i1－i

设z1，z2∈C，A＝z1·z2＋z2·z1，B＝z1·z1＋z2·z2，问A与B是否可以比较大小？为什么？

【思路探究】

设出z1，z2的代数形式→化简A，B→判断A，B是否同为实数→结论

【自主解答】

设z1＝a＋bi，

z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，

则z1＝a－bi，z2＝c－di，

∴A＝z1·z2＋z2·z1

＝(a＋bi)(c－di)＋(c＋di)(a－bi) ＝ac－adi＋bci－bdi2＋ac－bci＋adi－bdi2

＝2ac＋2bd∈R，

B＝z1·z1＋z2·z2

＝|z1|2＋|z2|2

＝a2＋b2＋c2＋d2∈R，

∴A与B可以比较大小．

1．z·z＝|z|2＝|z|2是共轭复数的常用性质．

2．实数的共轭复数是它本身，即z∈R⇔z＝z，利用此性质可以证明一个复数是实数．

3．若z≠0且z＋z＝0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．

已知z∈C，z为z的共轭复数，若z·z－3iz＝1＋3i，求z. 【解】

设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi(a，b∈R)，

由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，

即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，

22a＋b－3b＝1则有，

－3a＝3

a＝－1a＝－1解得或，

b＝0b＝3所以z＝－1或z＝－1＋3i.

记错i2值而致误

1＋2i

设复数z满足z＝i，则z＝(

) A．－2＋i

B．－2－i C．2－i

1＋2i【错解】

设复数z＝a＋bi(a，b∈R)满足z＝i，

D．2＋i

所以1＋2i＝ai＋b. a＝2，解得

b＝1，所以z＝2＋i，故选D项．

【答案】

D 【错因分析】

将i2＝－1当成i2＝1来运算漏掉负号．

【防范措施】

在进行乘除法运算时，灵活运用i的性质，并注意一些重要结论的灵活应用．

1＋2i【正解】

设复数z＝a＋bi(a，b∈R)满足z＝i，

所以1＋2i＝ai－b. a＝2，解得

b＝－1，所以z＝2－i，故选C项．

【答案】

C

1．复数代数形式的乘除运算

(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．

(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．

2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．

3．复数问题实数化思想．

复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化.

10i对应的点的坐标为(

) 3＋i

1．(2012·北京高考)在复平面内，复数

A．(1,3)

B．(3,1) C．(－1,3)

【解析】

10i10i3－i10i3－i＝2＝10＝1＋3i，

3＋i3＋12D．(3，－1) ∴其对应点的坐标为(1,3)，选A. 【答案】

A 2．(2013·安徽高考)设i是虚数单位，若复数a－的值为(

) A．－3

C．1

B．－1 D．3 10(a∈R)是纯虚数，则a3－i103＋i103＋i10【解析】

因为a－＝a－＝a－10＝(a－3)－i，由纯虚3－i3－i3＋i数的定义，知a－3＝0，所以a＝3. 【答案】

D 3．若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x＝________，y＝________. x－2＝3x，【解析】

由题意得：

y＝1，x＝－1，∴

y＝1.【答案】

－1

1 4．计算：

13(1)(1－i)(－2＋2i)(1＋i)；

2＋3i(2)；

3－2i(3)(2－i)2. 13【解】

(1)法一

(1－i)(－2＋2i)(1＋i) 1313＝(－2＋2i＋2i－2i2)(1＋i)

3－13＋1＝(2＋2i)(1＋i) 3－13＋13－13＋12＝2＋2i＋2i＋2i

＝－1＋3i. 13法二

原式＝(1－i)(1＋i)(－2＋2i) 13＝(1－i2)(－2＋2i) 13＝2(－2＋2i) ＝－1＋3i. (2)＝2＋3i2＋3i3＋2i＝

3－2i3－2i3＋2i2＋3i3＋2i

32＋226＋2i＋3i－6

5＝5i＝5＝i. (3)(2－i)2＝(2－i)(2－i) ＝4－4i＋i2

＝3－4i.

一、选择题

1．复数(2＋i)2等于(

) A．3＋4i

B．5＋4i C．3＋2i

D．5＋2i 【解析】

(2＋i)2＝4＋4i＋i2＝4＋4i－1＝3＋4i.故选A. 【答案】

A 5＋3i2．i是虚数单位，复数＝(

) 4－iA．1－i

B．－1＋i

C．1＋i

【解析】

5＋3i5＋3i4＋i17＋17i＝＝17＝1＋i. 4－i42＋1D．－1－i 【答案】

C 3．(2013·课标全国卷Ⅰ)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为(

) A．－4

C．4

4B．－5

4D．5

|4＋3i|42＋3253＋4i34【解析】

∵(3－4i)z＝|4＋3i|，∴z＝＝＝25＝5＋5i，3－4i3－4i4∴z的虚部为5. 【答案】

D 4．若z＋z＝6，z·z＝10，则z＝(

) A．1±3i

C．3＋i

【解析】

设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，

2a＝6∴2，解得a＝3，b＝±1，则z＝3±i. 2a＋b＝10【答案】

B 5．(2013·湖北高考)在复平面内，复数z＝应的点位于(

) A．第一象限

C．第三象限

B．第二象限

D．第四象限

2i(i为虚数单位)的共轭复数对1＋iB．3±i D．3－i

2i1－i2i【解析】

z＝＝＝1＋i，所以z＝1－i，故复数z的共轭复1＋i1＋i1－i数对应的点位于第四象限．

【答案】

D 二、填空题

6．(2013·江苏高考)设z＝(2－i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为________．

【解析】

z＝(2－i)2＝3－4i，所以|z|＝|3－4i|＝32＋－42＝5. 【答案】

5 3＋bi7．若＝a＋bi(a，b为实数，i为虚数单位)，则a＋b＝________. 1－i3＋bi3＋bi1＋i【解析】

＝

21－i3－b3＋b1＝2[(3－b)＋(3＋b)i]＝2＋2i. 3－ba＝2，∴3＋b2＝b，【答案】

3 8．当z＝－1－i时，z2 012＋z2 014＝________. 2

a＝0，解得∴a＋b＝3. b＝3.

1－i－2i【解析】

z＝－，∴z2＝2＝－i，

2∴z2 012＝(－i)2 012＝1，

z2 014＝(－i)2 014＝－1，

∴z2 012＋z2 014＝1－1＝0. 【答案】

0 三、解答题

9．计算下列各题：

1＋i71－i73－4i2＋2i3(1)＋－；

1－i1＋i4＋3i1141＋i7(2)(2＋2i)5＋()＋()；

i1＋i1－i2＋2i831(3)(－2－2i)12＋(). 1－3i21＋i1－i83－4i1＋i1＋i2323【解】

(1)原式＝[(1＋i)]＋[(1－i)]·－

1－i1＋i3－4ii＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－8·2i1＋i

i

＝8＋8－16－16i＝－16i. 1141＋i7(2)i(2＋2i)5＋()＋()

1＋i1－i＝－i·(2)5·[(1＋i)2]2·(1＋i)＋[1＝162(－1＋i)－4－i 1＝－(162＋4)＋(162－1)i. 2＋2i83112(3)(－2－2i)＋()

1－3i1＋i831＝(－i)12·(－2－2i)12＋()

132－2i13[1＋i2]4·2－2i13＝(－2＋2i)12＋

1333[2－2i]1334＝[(－2＋2i)]＋(－8＋83i) ＝1－8＋83i＝－7＋83i. 1＋i2＋31－ia10．复数z＝，若z2＋z<0，求纯虚数a. 2＋i2i＋3－3i【解】

z＝＝1－i，

2＋i∵a为纯虚数，设a＝mi(m∈R，m≠0)，

mi－mami则z2＋z＝(1－i)2＋＝－2i＋2

1－imm＝－2＋(2－2)i<0，

m－2<0m2－2＝0127]＋i

1＋i2

，∴m＝4，∴a＝4i. z

1＋2ia

b＝ad－bc，则满足＝0的复数z所对应的11．定义运算c

d1－i

1＋i

点在第几象限？

a

【解】

结合c

b＝ad－bc可知

dz

1＋2i＝z(1＋i)－(1－i)(1＋2i)＝0，

1－i

1＋i1－i1＋2i1－i21＋2i∴z＝＝＝2－i，

1＋i1＋i1－i∴复数z所对应的点在第四象限.

(教师用书独具)

5z15z2

已知z1、z2∈C，z1＋2z2∈R，且z＋2z＝1，求证：z2－3z1为纯虚数．

21【思路探究】

由题目条件推出(z2－3z1)2，再证明其小于0即可．

5z15z2【自主解答】

∵z＋2z＝1，

212∴10z2z2，

1＋5z2＝2z1·222即z2z2＝－9z1－z2＋6z1·z2，

1＋4z2＋4z1·也即－(z1＋2z2)2＝(3z1－z2)2. ∵z1＋2z2∈R，z1≠0，z2≠0，

∴－(z1＋2z2)2<0，

∴(3z1－z2)2<0，

∴(3z1－z2)2为负实数，

∴z2－3z1为纯虚数．

1．证明z为纯虚数的方法：

(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，证明a＝0且b≠0；

(2)z2<0⇔z为纯虚数；

(3)z≠0，且z＋z＝0⇔为纯虚数．

2．证明z∈R的方法：

(1)设z＝a＋bi(a、b∈R)，证明b＝0；

(2)z∈R⇔z＝z；

(3)z∈R⇔z2≥0；

(4)z∈R⇔|z|2＝z2.

设z＝a＋bi(a、b∈R)，若由．

【解】

a＋biz

2＝21＋z1＋a－b2＋2abiz∈R，则a、b应满足什么条件？并说明理1＋z2a＋bia2－b2＋1－2abi＝

a2－b2＋12＋2ab2a3＋ab2＋a－ba2＋b2－1i＝∈R，

a2－b2＋12＋4a2b2∴b(a2＋b2－1)＝0，∴b＝0或a2＋b2＝1.

复

数复数的

概念复数相等的充要条件复数与复数分类共轭复数复数的模复数的

运算复数的

减法法

则(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i复数减法的几何意义复平面上两点间的距离d＝|z1－z2|复数的

加法法

则(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i复数加法的几何意义复数的

乘法法

则(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i复数的

除法法

则

a＋biac＋bdbc－ad＝＋i(c＋di≠0) c＋dic2＋d2c2＋d2