小结优秀教学设计

第十四章

数系的扩充与复数的引入

一．基本知识

【1】复数的基本概念

（1）形如a

+ bi的数叫做复数（其中a，bR）；复数的单位为i，它的平方等于－1，即i21.其中a叫做复数的实部，b叫做虚部

实数：当b = 0时复数a + bi为实数

虚数：当b0时的复数a + bi为虚数；

纯虚数：当a = 0且b0时的复数a + bi为纯虚数

（2）两个复数相等的定义：

abicdiac且bd（其中，a，b，c，d，R）特别地abi0ab0

（3）共轭复数：zabi的共轭记作zabi； （4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；zabi，对应点坐标为pa,b；（象限的复习）

（5）复数的模：对于复数zabi，把z【2】复数的基本运算

设z1a1b1i，z2a2b2i

（1）

加法：z1z2a1a2b1b2i；

（2）

减法：z1z2a1a2b1b2i；

（3）

乘法：z1z2a1a2b1b2a2b1a1b2i 特别zza2b2。

123456（4）幂运算：iii1iii1iii1

a2b2叫做复数z的模；

【3】复数的化简

zcdi（a,b是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：abicdicdiabiacbdadbci

zabiabiabia2b2对于zcdicdicdxi进ab0，当时z为实数；当z为纯虚数是z可设为zabiabiab一步建立方程求解

题型148

复数的概念及分类

2013年

1. (2013安徽文1）设是虚数单位，若复数a10aR是纯虚数，则的值为（

）.

3iA. 3

B. 1

C.

D.

2014年

1. （2014江苏2）已知复数z52i（为虚数单位），则的实部为

．

2.（2014湖南文11）复数23i（为虚数单位）的实部等于

. 2i2015年

1.

(2015北京文9)复数i1.

解析

由题意可得i1i的实部为

. 12ii的实部为________. 2016年

1iii21i

，其实部为1.

2．（2015重庆文11）复数2.

解析

(12i)i2i22i,实部为2．

1.（2016全国乙文2）设12iai的实部与虚部相等，其中a为实数，则a（

）. A.3

B.2

C.2

D.

1.A 解析

由题意12iaia22a1i，故a22a1，解得a3.故选A. 2.（2016江苏2）复数z12i3i，其中为虚数单位，则的实部是

. 2.解析

由复数乘法法则可得z55i，故的实部是.

32i，其中为虚数单位，则Imz

. i3. 3分析

在部分教材中，Imz表示复数的虚部，Rez表示复数的实部. 解析

因为zi32i23i，故Imz3. 4.（2016天津文9）是虚数单位，复数满足(1i)z2，则z的实部为_______. 24.1 解析

由(1i)z，即z1i，所以z的实部为1. 1i3.（2016上海文2）设z2017年

1.（2017全国1文3）下列各式的运算结果为纯虚数的是（

）. A．i1i

B．i221i

C．1i2

D．i1i

1.解析

因为(1i)22i为纯虚数.故选C.

2.（2017天津卷文9）已知aR，为虚数单位，若ai为实数，则a

. 2i2.解析

因为a1a2i2a1ai2aiai2i2为实数，所以2i2i2i555a20，所以a2. 53.（2017浙江卷12）已知，bR，abi34i（是虚数单位），则a2b2

，

2ab

. 3.解析

由(abi)2a2b22abi，abi34i，所以a2b23,ab2，

解得a2,b1，所以a2b25，ab2．

题型149

与共轭复数、复数相等有关的问题

2014年

1. （2014山东文1）已知a,bR,i是虚数单位. 若ai＝2bi，则abi（

）. A. 34i

B. 34i

C. 43i

D. 43i

222.（2014陕西文3）已知复数z2i，则zz的值为（

）. A.

B.5

C.

D.3

3. （2014广东文10）对任意复数1,2定义1﹡212，其中2是2的共轭复数，对任意复数z1,z2,z3有如下四个命题：

﹡z3z1﹡z3z2﹡z3；②z1﹡﹡z2z1﹡z3；

①z1z2z2z3z1﹡z2z2﹡z1；

﹡z2﹡z3z1﹡③z1z2﹡z3；④z1则真命题的个数是（

）. A.

B.

C.

D.

4.（2014北京文9）若xii12ixR，则x

. 2015年

1．（2015福建卷文1）若等

于（

）. A．

3,2

B．3,2

C．3,3

D．1,4

1.解析

由已知得32iabi，所以a3,b2.故选A．

，则a,b的值分别1i23iabi（a,bR,i是虚数单位）

2.（2015全国二文2）若为实数，且2ai3i，则a（

）. 1iA. 4

B. 3

C.

D.

2.

解析

可去分母两边同乘1i得，2ai1i3i24i，则a4.故选D.

评注

分式型复数的运算，关键是运算的正确性，难度不大. zi，其中为虚数单位，则z（

）. 3.（2015山东文2）若复数满足1iA. 1i

B. 1i

C. 1i

D. 1i

3.

解析

因为zi，所以z1ii=1+i，所以z1i.故选A. 1i2016年

z（

）. |z|1.（2016全国丙文2）若z43i，则A.1

B.1

43

C.+i

55

43

D.i

551.D 解析

因z43i，则其共轭复数为z43i，其模为|z||43i|故42325，

z43i.应选答案D. |z|552.（2016全国甲文2）设复数z满足zi3i，则z（

）. A.12i

B.12i

C.32i

D.32i

2.C 解析

因为z32i，所以z32i.故选C. 3.（2016山东文2）若复数zA.1+i

B.1i

3. B 解析

由z2，其中为虚数单位，则z

=（

）. 1i

C.1i

D.1i

21i21i，可得z1i.故选B. 1i1i1i题型150

复数的模

2013年

2i1. （2013山东文1）复数ziA.25

B. 2（为虚数单位），则z（ ）. 41

C.

D. 5

2．(2013广东文3）若ixyi34ix,yR则复数xyi的模是

A．

B．

C．

D．

3. (2013辽宁文2）

复数的z1i1的模为（

）. A. 12

B. 22

C. 2

D.

4. （2013江苏2）设z(2i)2（为虚数单位），则复数的模为

. 5. (2013重庆文11）已知复数z12i（是虚数单位），则z

. 2014年

1.（2014新课标Ⅰ文3）设z11ii，则z（

）

A.

12

B. 232

C.

2

D. 2

2.（2014江西文1）若复数z满足z(1i)2i（为虚数单位），则|z|=（

）

A.

B.2

C.2

D.3

2015年

1.（2015陕西文12）设复数zx1yia,yR，若z„1，则y…x的概率为（

A. 3412π

B. 121π

C. 1412π

D. 121π

1.解析

由题意作图，如图所示.根据图形的几何意义可得：

zx1yizx12y2剟1x12y21. yAOBx

2.（2015江苏3）设复数满足z234i（是虚数单位），则的模为

．

2.解析

解法一：设zabi，则z2abi2a2b22abi34i，

22222从而ab3a4a21ab3，即2ab4a2b24，故b21或b24，

.

）

从而za2b25．

2解法二：由题意z2z34i32425，故z2016年

5．

1.（2016全国丙文2）若z43i，则z（

）. |z|A.1

B.1

43

C.+i

55

43

D.i

551. D解析

因z43i，则其共轭复数为z43i，其模为|z||43i|故42325，

z43i.故选D. |z|552017年

1.（2017江苏卷2）已知复数z1i12i，其中是虚数单位，则的模是

．

1.解析

解法一：z1i12i13i，所以解法二：z1i12i题型151

复数的代数运算

2013年

1. (2013浙江文2）

已知是虚数单位，则2i3i

A.55i

B.75i

C.55i?

D.75i

2. (2013天津文9）是虚数单位. 复数3i1-2i

. 2014年

z10．

1i12i10．

7i（

）. 34i17311725i

D. i

A.1i

B. 1i

C. 2525772.（2014新课标Ⅱ文2）13i（

）

1i1.（2014天津文1）是虚数单位，复数A.12i

B.12i

C.12i

D.12i

3.（2014安徽文1）设是虚数单位，复数iA.i

B.

C.1

D.

4.（2014辽宁文2）设复数满足(z2i)(2i)5，则z（

）

A．23i

B．23i

C．32i

D．32i

32i（

）. 1i

5.（2014福建文2）复数32ii等于（

）. A.23i

B.23i

C.23i

D.

23i

6.（2014广东文2）已知复数满足34iz25,则z（

）. A.34i

B. 34i

C. 34i

D. 34i

7.（2014湖北文2）为虚数单位，1i21i（

）. A．

B．1

C．

8.（2014浙江文11）已知是虚数单位，计算1i1+i2=____________. 9.（2014四川文12）复数22i1i____________.

2015年

1.(2015安徽文1)设是虚数单位，则复数1i12i（

）. A. 33i

B. 13i

C. 3i

D. 1i

1.

解析

因为1i12i12ii2i23i.故选C. 2.（2015广东文2）已知是虚数单位，则复数1i2（

）. A．2i

B．

2i

C．2

D．-2 2.

解析

由题意可得1i212ii212i12i.故选A．

3. (2015湖北文1)为虚数单位，i607（

）. A．

B．

i

C．1

D．-1

3.

解析

i607i60611ii，故选B.

24.（2015湖南文1）已知1iz1i（为虚数单位），则复数z（A.1i

B.1i

C.1i

D.1i

4.

解析

由题意得，z(1i)21i2i1i1i.故选D. 5.（2015全国1文3）已知复数满足(z1)i1i，则z（

）. A. 2i

B. 2i

C. 2i

D. 2i

5. 解析

由题意可得zi1ii12i，z12ii2i.故选C. 6.（2015四川文11）设是虚数单位，则复数i1i_____________.

D．

i

）.

6.

解析

i1iii2i. 7.（2015天津文9）是虚数单位，计算12i2i

的结果为

．

7.

解析

12ii22iii22i2i2ii. 2016年

1.（2016北京文2）复数12i2i（

）.

A.

B. 1+i

C. i

D. 1i

21. A解析

由题意可得12i2ii2i2ii(2i)2ii.故选A. 2.（2016四川文1）设为虚数单位，则复数(1i)2=（

）. A. 0

B.2

C.2i

D.22i

2. C 解析

由题意，(1i)212ii22i.故选C.

2017年

1.（2017全国2卷文2）1i2i（

）. A.1i

B. 13i

C. 3i

D.33i

1.

解析

由题意，(1i)(2i)23ii213i.故选B. 2.（2017山东卷文2）已知是虚数单位，若复数满足zi1i，则z2（

）. A.2i

B. 2i

C. 2

D.

2.

解析

解法一：由于z1ii1i，故z2(1i)22i.故选A. 解法二：由zi1i，得(zi)2(1i)2z22iz22i.故选A. 题型152

复数的几何意义

2013年

1．(2013福建文1）复数的z12i（为虚数单位）在复平面内的点位于（

）. A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

2. （2013江西文1）复数zi2i（为虚数单位）在复平面内所对应的点在（

）. A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

3. （2013四川文3）如图，在复平面内，点A表示复数，则图中表示的共轭复数的点是（

.

）

A. A

B. B

C. C

D.D

AxC

4. (2013湖南文1）复数zi1ii为虚数单位在复平面上对应的点位于（

）. A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

5.（2013湖北文11）为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若BODyz123i，则z2

2014年

1.（2014重庆文1）实部为2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的（

）. A.

第一象限

B.第二象限

C.

第三象限

D.第四象限

2017年

1.（2017全国3卷文2）复平面内表示复数zi2i的点位于（

）. A．第一象限

B．第二象限 2

C．第三象限

D．第四象限

1.

解析

zi(2i)2ii1，.故选C. 所以该复数位于第三象限2i评注

考点为复数的乘法运算与复数的象限表示，属于基础题型. 2.（2017北京卷文2）若复数1iai在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（

）. 1

B.–，–1

C.1，

D.–1，

A.–，a102. 解析

运算直接(1i)(ai)a1(1a)i，因为对应点在第二象限，所以，所以1a0a1.故选B.