3.2.2 复数代数形式的乘除运算教学教案设计

3.2.2复数代数形式的乘除运算

一、教学目标

1、知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算；

2、过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题；

3、情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。

二、教学重难点

教学重点：复数代数形式的除法运算。

教学难点：对复数除法法则的运用。

三、教学过程

（一）复习回顾

已知两个复数z₁=a+bi,z₂=c+di (a,b,c,d是实数) （1）加法运算：z₁+z₂=(a+c)+(b+d)i （2）减法运算：z₁-z₂=(a-c)+(b-d)i （学生回答）

小结：两个复数相加（减）就是，

实部与实部，虚部与虚部分别相加（减）。

推广：多个复数相加（减）也是，

实部与实部，虚部与虚部分别相加（减）。

如: (a+bi)+(c+di)+(e+fi)=(a+c+e)+(b+d+f)i（学生回答）

（二）新课探究

1、复数的乘法运算

化简：（1+2x）(2-3x)

＝2-3x+4x-6x ²

（多项式的乘法）

=2+x-6x ²

思考：类比两个多项式相乘，两个复数相乘的结果是什么？

复数的乘法法则：（师生一起推导）

(a+bi)(c+di) =ac+adi+bci+bdi²

=ac+adi+bci-bd

=(ac-bd)+(ad+bc)i 小结：（1）两个复数的积，仍是一个复数；

（2）

复数的乘法与多项式的乘法类似，只是在运算过程中把i ²换成﹣1,然后实部、虚部分别合并。

活学活用：

例1、计算（学生自己计算）

（1）(1+2i)(-i)

(2)(5-4i)(1-3i) 【探究一】（小组讨论）

探究1：多项式的乘法满足交换律、结合律、乘法对加法的分配率以及平方差公式、完全平方公式，复数的乘法是否也满足以上的运算规律？（小组探究）

对于任意复数z₁,z₂,z₃,有

交换律：

z₁

·

z₂＝z₂

·

z ₁

结合律:

(z ₁

·

z ₂) ·

z ₃

＝z ₁

·(z ₂

·

z ₃)

乘法对加法的分配率：z ₁(z ₂+z ₃) ＝z ₁z ₂+z ₁z ₃

平方差公式：

(a+bi)(a-bi) = 完全平方公式:

(a+bi) ² = 小结：复数的乘法与多项式的乘法是类似的，多项式的运算规律复数也同样适用。

（三）例题讲解

例2: 计算(1-2i)(3+4i)(3-4i) 练一练：（1）i(2-i)(1-2i)

(2)（1+2i）(-1+2i)

(3)

(1-i) ²

2、共轭复数

一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。

z的共轭复数记作

，若z=a+bi，则

。

练一练：说出下列复数的共轭复数（口答）

(1)3-2i

, (2)-i+1

, (3)5i

, (4)2

【探究二】

探究2：若z=a+bi,

zabi

是共轭复数，那么

(1)在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？

(2)

zz

是一个怎样的数？

(3)

zzz2z2

有何关系？

结论：(1)关于实轴对称

（2）

zz

=(a+bi)(a-bi)

=a²-(bi)²

=a²+b²

即：zz是一个实数。

2（3）zzzz2=a²+b²

3、复数的除法运算

13化简：

23

(分母有理化) 思考：类比上面的化简运算，若复数z₁=a+bi,z₂=c+di(c+di≠0),则z₁÷z₂＝?

复数的除法法则

z₁÷z₂=(a+bi)÷(c+di) abicdi（教师板书推导过程）

小结：

在进行复数除法运算时，先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数，化简后写成复数的代数形式（分母实数化）

例题讲解

例2、计算：(7+i)÷(3+4i)（教师板书）

练一练：

1i1i(1i)(2i)(2)i

(1)体验高考：(2018全国卷Ⅲ)、（1+i）(2-i)= 12i

(2018全国卷Ⅱ)、

12i

(2018全国卷Ⅰ)、z1i2i,则z1i

课堂小结：1、复数乘法运算法则是什么？满足那些运算规律？

2、怎样的两个复数互为共轭复数？

3、复数除法运算法则是什么？

布置作业：

1、课本p61习题3.2A组4、5 2、同步练习册P67-P68