3.三个正数的算术-几何平均不等式优质课一等奖

三个正数的算术-几何平均不等式

一、教学目标：

知识与技能：1、掌握三个正数的算术-几何平均不等式；2能够证明三个正数的算术-几何平均不等式3.会应用此定理求某些函数的最值；

过程与方法：通过类比学习让学生进一步掌握均值不等式定理,并推广到三个，n个正数，并会用这些定理求某些函数的最值。

情感态度与价值观：通过学习让学生体会类比学习，培养学生的知识迁移能力；

二、教学重、难点

重点：三个正数均值不等式定理的应用；

难点：解题中的转化技巧。

三、教学过程：

（一）温故知新：两个正数的均值不等式

引入新课：猜想对于3个正数如果a,b,cR，那么（当且仅当abc时取“=”）是否成立？

探究1a、b、c∈R+, 那么a3+b3+c3≥3abc, 当且仅当a=b=c时, 等号成立即可（参考公式:

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3;

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)）

333证明a: bc3abcabc3abc

3

(ab)33a3b3ab2c33abc(ab)3c33a3b3ab23abc22(abc)(ab)(ab)cc3ab(abc)222(abc)a2abbacbcc3ab(abc)(a2b2c2abbcca)1(abc)(ab)2(bc)2(ca)20,2对上述结果作简单的恒等变形，就可以得到

abc3abc

，当且仅当abc时取“=”

3语言表述：

三个正数的算术平均不小于它们的几何平均.

定理3

如果a,b,cR，那么a＋b＋c3(2)定理3可变形为：①abc≤()；②a3＋b3＋c3≥3abc 3推广：

a1a2an≥

nN*,aiR,1in

n语言表述：

上述重要不等式有着广泛的应用，例如：证明不等式，求函数最值，判断变量或数学式子的取值范围等等它们涉及到的题目活，变形多，必须把握好凑形技巧今天，我们就来进一步学习均值不等式的应用. （二）新课讲解

1、例1：已知x、y、z∈R+, 求(x+y+z)3≥27xyz

证明：因为

所以xyz3xyz>0，33（x+y+z）xyz，273即（x+y+z）27xyz定理:设x,y,z都是正数，那么

⑴若xyzS（定值），则

当xyz时，xyz有最小值33s.

⑵若xyzp（定值），则p3/27. 2、不等式求最值的探究

例2、当0

y2x2（x>0）的最小值?

例3、求函数 3x

3解:f(x)＝2x2＋x

333233

＝2x＋2x＋2x≥32x·2x·2x

233

＝236，

3336332当且仅当2x＝2x＝2x，即x＝2时取等号，此时函数取最小值236.（师生共同总结此题规律。）

小结：利用三个正实数的基本不等式求最值时注意：

1、一正、二定、三相等；

2、不能直接利用定理时，注意拆项、配项凑定值的技巧

（拆项时常拆成两个相同项）

(三)课堂练习：

1．求函数

2.求函数（四）学以致用

例

将一块边长为a的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？

解：设切去窃取的正方形边长为x,无盖方盒子的容积为V,则

aVx(a2x)2,(0x)21V4x(a2x)(a2x)4的最小值？

的最大值？

3a2a

当且仅当4xa2x,x时,Vmax62714x(a2x)(a2x)32a3[]4327(五)课堂小结: (1) 若a,b.cR,那么

abc3abc,3当且仅当abc时，等号成立。a＋b＋c3

定理3可变形为：①abc≤()；②a3＋b3＋c3≥3abc 3(2)不等式的证明方法较多，关键是从式子的结构入手进行分析。

(3)运用三个正数的平均值不等式证明不等式时，仍要注意“一正、二定、三相等”，在解题中，若两次用平均值不等式，则只有在“相等”条件相同时，才能取到等号。

（六）课后作业：

1.求函数y＝x2(3－x)(0

？ 2．函数f(x)＝2＋2x(x>0)的最小值？

1x3.课本10页10、11题