一 比较法课堂实录

第章

不等式、推理与证明

第一节

不等式的性质与一元二次不等式

[考纲传真]

(教师用书独具)1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．

(对应学生用书第90页) [基础知识填充] 1．实数的大小顺序与运算性质的关系

(1)a>b⇔a－b>0；

(2)a＝b⇔a－b＝0；

(3)a

(1)对称性：a>b⇔bb，b>c⇒a>c；(单向性) (3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；(双向性) a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(单向性) (4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；

a>b，c<0⇒ac

a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(单向性) (5)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n≥2，n∈N)；(单向性) nn(6)开方法则：a>b>0⇒a>b(n≥2，n∈N)；(单向性) 11(7)倒数性质：设ab>0，则ab.(双向性) 3．“三个二次”的关系

1

判别式Δ＝b2－4ac 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根

(a>0)的解集

ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集

Δ>0

Δ＝0

Δ<0

有两相异实根x1，x2(x1x2} {x|x1

有两相等实根x1＝bx2＝－2a

{x|x≠x1}

∅

没有实数根ax2＋bx＋c>0 R

∅

4.常用结论(口诀：大于取两边，小于取中间) (x－a)(x－b)＞0或(x－a)(x－b)＜0型不等式的解法

不等式解集

(x－a)·(x－b)＞0

(x－a)·(x－b)＜0

a＜b {x|x＜a或x＞b} {x|a＜x＜b}

a＝b {x|x≠a}

∅

a＞b

{x|x＜b或x＞a} {x|b＜x＜a} 11[知识拓展]

1.倒数性质，若ab>0，则a>b⇔a

gxfx≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. gx以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式．

a＝b＝0，a>0，4．不等式ax＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或

c>0Δ<0.2

a＝b＝0，a<0，不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或

c<0Δ<0.[基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) 2

(1)两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种．(

) (2)a>b⇔ac2>bc2.(

) ab(3)a>b>0，c>d>0⇒d>c.(

) (4)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(

) (5)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(

) (6)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集一定不是空集．(

) [答案]

(1)√

(2)×

(3)√

(4)√

(5)×

(6)√

2．已知a，b是实数，则“a＞0且b＞0”是“a＋b＞0且ab＞0”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

a＞0，a＋b＞0，C

[⇒又当ab＞0时，a与b同号，结合a＋b＞0知b＞0ab＞0，a＞0且b＞0，故“a＞0且b＞0”是“a＋b＞0且ab＞0”的充要条件．] 3．若a，b∈R，且a>b，则下列不等式恒成立的是(

) A．a2>b2

C．2a>2b

C

[取a＝－1，b＝－2，

排除A，B，D．故选C．] 4．不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．(用区间表示) (－4,1)

[由－x2－3x＋4>0得x2＋3x－4<0，解得－40的解集为(－4,1)．]

5．(教材改编)若不等式ax＋bx＋2＞0________. 11－14

[由题意知x1＝－2，x2＝3是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，

2

aB．b>1 D．lg(a－b)>0 11的解集为x－2＜x＜3

，则a＋b＝3

b11－＝－a2＋3，则211＝－a2×3，a＝－12，解得

b＝－2

(经检验知满足题意)．

∴a＋b＝－14.] (对应学生用书第91页)

(1)已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是(

) A．c≥b＞a

C．c＞b＞a

B．a＞c≥b

D．a＞c＞b

比较大小与不等式的性质

(2)(2017·山东高考)若a>b>0，且ab＝1，则下列不等式成立的是(

) 1bA．a＋b<2a

b1B．2a

1bD．log2(a＋b)

(1)A

(2)B

[(1)∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b. 又b＋c＝6－4a＋3a2，

∴2b＝2＋2a2，

∴b＝a2＋1，

13∴b－a＝a2－a＋1＝a－2＋4＞0，

∴b＞a，∴c≥b＞a. (2)法一：∵a>b>0，ab＝1，∴log2(a＋b)>log2(2ab)＝1. 24

1ba∵2a＝2a＝a－1·2－a，令f(a)＝a－1·2－a，

11又∵b＝a，a>b>0，∴a>a，解得a>1. ∴f′(a)＝－a－2·2－a－a－1·2－a·ln 2＝－a－2·2－a(1＋aln 2)<0，

∴f(a)在(1，＋∞)上单调递减．

b1∴f(a)a＋b>log2(a＋b)，

bb1∴2a

法二：∵a>b>0，ab＝1，

1∴取a＝2，b＝2，

1b15此时a＋b＝4，2a＝8，log2(a＋b)＝log2

2，

b1∴2a

1.比较两个数(式)大小的两种方法

2．与充要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p⇒q和q⇒p是否正确，要注意特殊值法的应用．

3．与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．

[跟踪训练]

(1)(2018·东北三省四市模拟(二))设a，b均为实数，则“a＞|b|”是“a3＞b3”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

5

m2x(2)已知m∈R，a＞b＞1，f(x)＝，则f(a)与f(b)的大小关系是(

)

x－1【导学号：97190189】

A．f(a)＞f(b) C．f(a)≤f(b) B．f(a)＜f(b) D．不确定

(1)A

(2)C

[(1)a＞|b|能推出a＞b，进而得a3＞b3；当a3＞b3时，有a＞b，但若b＜a＜0，则a＞|b|不成立，所以“a＞|b|”是“a3＞b3”的充分不必要条件，故选A．

m2am2b(2)∵f(a)＝，f(b)＝，

a－1b－1bm2am2ba∴f(a)－f(b)＝－＝m2a－1－b－1

a－1b－1ab－1－ba－1b－a＝m2·＝m2·，

a－1b－1a－1b－1当m＝0时，f(a)＝f(b)；

当m≠0时，m2＞0，

又a＞b＞1，∴f(a)＜f(b)．

综上，f(a)≤f(b)．]

解下列不等式：

(1)3＋2x－x2≥0；

(2)x2－(a＋1)x＋a<0. [解]

(1)原不等式化为x2－2x－3≤0，

即(x－3)(x＋1)≤0，

故所求不等式的解集为{x|－1≤x≤3}．

(2)原不等式可化为(x－a)(x－1)<0，

当a>1时，原不等式的解集为(1，a)；

当a＝1时，原不等式的解集为∅；

当a<1时，原不等式的解集为(a,1)．

一元二次不等式的解法

6

将(2)中不等式改为ax2－(a＋1)x＋1<0，求不等式的解集．

[解]

若a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1. 1若a<0，原不等式等价于x－a(x－1)>0，

1解得x1. 1若a>0，原不等式等价于x－a(x－1)<0. 11①当a＝1时，a＝1，x－a(x－1)<0无解；

111②当a>1时，a<1，解x－a(x－1)<0得a

111③当01，解

x－a(x－1)<0得11

；

当a＝0时，解集为{x|x>1}；当011时，解集为xa

；当a＝1时，

. [规律方法]

1.解一元二次不等式的一般方法和步骤

1化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式. 2判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根无实根时，不等式解集为R或∅. 3求：求出对应的一元二次方程的根. 4写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集. 2.解含参数的一元二次不等式的步骤：

1二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式. 2判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系. 3确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式. 7

2x＋1[跟踪训练]

(1)不等式≥－1的解集为________．

x－5(2)已知不等式ax2－bx－1>0的解集是x2－bx－a≥0的解集是(

) ，则不等式

4(1)xx≤3或x＞5



(2)B

[(1)将原不等式移项通分得3x－4≥0，

x－53x－4x－5≥0，4等价于解得x≤3或x＞5. x－5≠0，4x≤∴原不等式的解集为x3或x＞5

. (2)∵不等式ax－bx－1>0211| 的解集是x－2

11∴ax2－bx－1＝0的解是x1＝－2和x2＝－3，且a<0，

11b－2－3＝a，∴111－－×＝－23a，

a＝－6，解得

b＝5.

则不等式x2－bx－a≥0即为x2－5x＋6≥0，解得x≤2或x≥3.]

◎角度1

形如f(x)≥0(x∈R)求参数的范围

不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________. 【导学号：97190190】

(－2,2]

[当a－2＝0，即a＝2时，不等式即为－4<0，对一切x∈R恒成立，

一元二次不等式恒成立问题

8

a－2<0，当a≠2时，则有

2Δ＝4a－2＋16a－2<0，a<2，即∴－2

形如f(x)≥0(x∈[a，b])求参数的范围

设函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．

13[解]

要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，即mx－2＋4m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．

有以下两种方法：

13法一：令g(x)＝mx－2＋4m－6，x∈[1,3]．

当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，

所以g(x)max＝g(3)⇒7m－6<0，

66所以m<7，所以0

当m＝0时，－6<0恒成立；

当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数，

所以g(x)max＝g(1)⇒m－6<0，所以m<6，所以m<0. 综上所述：m6的取值范围是mm<7222

. 132法二：因为x－x＋1＝x－2＋4>0，

又因为m(x2－x＋1)－6<0，所以m<因为函数y＝6. x2－x＋16666＝在[1,3]上的最小值为7，所以只需m<7即2x－x＋113x－2＋42可．

所以m6的取值范围是mm<7

. 9

◎角度3

形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])求x的范围

对任意的k∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(k－4)x＋4－2k的值恒大于零，则x的取值范围是__________．

{x|x<1或x>3}

[对任意的k∈[－1,1]，x2＋(k－4)x＋4－2k>0恒成立，即g(k)＝(x－2)k＋(x2－4x＋4)>0，

在k∈[－1,1]时恒成立．

2x－5x＋6>0，只需g(－1)>0且g(1)>0，即2

x－3x＋2>0，

解得x<1或x>3.] [规律方法]

一元二次不等式恒成立问题的求解思路

1形如fx＞0或fx＜0x∈R的不等式确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解. 2形如fx＞0或fx＜0x∈[a，b]的不等式确定参数范围时，常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值. 3形如fx＞0或fx＜0参数m∈[a，b]的不等式确定x的范围时，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数. [跟踪训练]

(1)(2017·四川宜宾一中期末)不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为(

) A．[－1,4]

C．(－∞，－1]∪[4，＋∞) B．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．[－2,5] (2)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1,1]时，f(x)＞0恒成立，则b的取值范围是(

) A．(－1,0) C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(2，＋∞) D．不能确定

(1)A

(2)C

[(1)x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以要使x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4. a(2)由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)的图象关于直线x＝1对称，即2＝1，解得a＝2. 又因为f(x)开口向下，

所以当x∈[－1,1]时，f(x)为增函数，

10

所以f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，

f(x)＞0恒成立，

即b2－b－2＞0恒成立，

解得b＜－1或b＞2.]

11