2.2.2 反证法教案设计（一等奖）

2.2.2 反证法

※学习目标

1、结合数学案例，了解反证法的解题过程与自身特点，体会反证法的思考过程和内涵；

2、通过实例及合作探讨，归纳总结应用反证法解题的情形，会用反证法解决数学问题. 而肯定原结论成立.

探究点3: 反证法的适用情形

1、问题共有n种情况，现要证明其中的1种情况成立时，可以想到用反证法把其它的(n-1)种情况都排除，从而肯定这种情况成立；

2、命题是以否定形式叙述的；

3、结论以“至少”、“至多”等形式出现的命题；

4、结论的反面是比原结论更具体、更容易研究的命题. 探究点4: 常见关键词的否定形式

原词语

等于

是

都是

大于

小于

任意的

至少有一个

至多有一个

对所有x成立

对任何x不成立

否定词

※学习过程

一、情境引入

案例1：将9个球分别染成红色或白色。那么无论怎样染，至少有5个球是同色的。你能证明这个结论吗？

案例2：平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一条直线上的三点A，B，C不能作圆” . 如何证明这个命题？

二、预习探究

探究点1：反证法的概念及理论依据

1、假设原命题_________（即在原命题的条件下，结论的反面成立），经过正确的推理,最后得出________，因此说明假设错误,从而间接证明了____________,这样的的证明方法叫反证法。

2、由四种命题的相互关系可知，原命题“若p，则q”与命题“若非q，则非p”互为_________，具有___________. 根据这一结论，要正原命题“若p，则q”为真，可以改证逆否命题“若非q，则非p”为______，这种证明方法为反证法。

探究点2: 反证法的证明步骤

1、________－－假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立. 2、________－－由“反设”和已知条件出发，通过正确推理，得出矛盾.（这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定理、公理、定义、事实矛盾等）. 3、_________－－因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然反设不真，从 三、典型例题

例1、已知a0，证明x的方程axb有且只有一个根.

例2、证明1,3,2不能为同一等差数列的三项 .

例3、已知a,b,c是互不相等的实数，求证：由y21ax2bxc,y2bx22cxa,

y3cx22axb确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.

例4、证明2不是有理数.

※达标检测

1．命题“关于x的方程ax＝b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是(

) A．无解 B．两解

C．至少两解 D．无解或至少两解

2．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是(

) A．三个内角中至少有一个钝角

B．三个内角中至少有两个钝角

C．三个内角都不是钝角

D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角

3.设a,b,c都是正数，则三个数a1b，b1c，c1a（ ）

A．都大于2 B．至少有一个大于2 C．至少有一个不大于2 D.至少有一个不小于2 4．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b(

) A．一定是异面直线

B．一定是相交直线

C．不可能是平行直线

D．不可能是相交直线

5．若实数a，b，c满足a＋2b＋c＝2，则(

) A．a，b，c都是正数

B．a，b，c都大于1 C．a，b，c都小于2 D．a，b，c中至少有一个不小于12

6.由四种命题的关系可知，反证法的实质是通过___________来证明原命题的正确性 . 7．用反证法证明命题“如果a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容应是____________________．

8.求证：2,3,5不可能成等差数列.

9.

若x,y均是正实数，且xy2，求证：1x1yy2和x2中至少有一个成立.

2.2.2 反证法（答案版）

※学习目标

1、结合数学案例，了解反证法的解题过程与自身特点，体会反证法的思考过程和内涵；

2、通过实例及合作探讨，归纳总结应用反证法解题的情形，会用反证法解决数学问题. 条件矛盾，或与假设矛盾，或与定理、公理、定义、事实矛盾等）. 3.存真－－因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然反设不真，从而肯定原结论成立.

探究点3: 反证法的适用情形

1、问题共有n种情况，现要证明其中的1种情况成立时，可以想到用反证法把其它的(n-1)种情况都排除，从而肯定这种情况成立；

2、命题是以否定形式叙述的；

3、结论以“至少”、“至多”等形式出现的命题；

4、结论的反面是比原结论更具体、更容易研究的命题. 探究点4: 常见关键词的否定形式

原词语

等于

是

都是

大于

小于

任意的

至少有一个

至多有一个

对所有x成立

对任何x不成立

否定词

不等于

不是

不都是

不大于

不小于

存在一个

一个也没有

至少有两个

存在一个x不成立

存在一个x成立

※学习过程

三、情境引入

案例1：将9个球分别染成红色或白色。那么无论怎样染，至少有5个球是同色的。你能证明这个结论吗？

解：假设有某种染法使红色球和白色球的个数都不超过4，则球的总数应不超过4+4=8，这与球的总数是9矛盾.因此无论怎样染，至少有5个球是同色的.

案例2：平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一条直线上的三点A，B，C不能作圆” . 如何证明这个命题？

解：假设过在同一条直线上的三点A，B，C可以作一个圆.则该圆与直线有三个交点，这与直线与圆至多有2个交点矛盾.因此，过在同一条直线上的三点A，B，C不能作圆.

四、预习探究

探究点1：反证法的概念及理论依据

4、假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论的反面成立），经过正确的推理,最后得出矛盾，因此说明假设错误,从而间接证明了原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。

5、由四种命题的相互关系可知，原命题“若p，则q”与命题“若非q，则非p”互为逆否命题，具有同真同假性. 根据这一结论，要正原命题“若p，则q”为真，可以改证逆否命题“若非q，则非p”为为真，这种证明方法为反证法。

探究点2: 反证法的证明步骤

1、反设－－假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立. 2、归谬－－由“反设”和已知条件出发，通过正确推理，得出矛盾.（这个矛盾可以是与已知 三、典型例题

例1、已知a0，证明x的方程axb有且只有一个根.

例2、证明1,3,2不能为同一等差数列的三项 . 2．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有

例3、已知a,b,c是互不相等的实数，求证：由y1ax22bxc,y2bx22cxa,

y3cx22axb确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.

例4.证明2不是有理数.

※达标检测

1．命题“关于x的方程ax＝b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是( D

) A．无解 B．两解

C．至少两解 D．无解或至少两解

一个钝角”时，反设正确的是( B ) A．三个内角中至少有一个钝角

B．三个内角中至少有两个钝角

C．三个内角都不是钝角

D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角

3.设a,b,c都是正数，则三个数a1b，b1c，c1a（

D ）

A．都大于2 B．至少有一个大于2 C．至少有一个不大于2 D.至少有一个不小于2 4．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b( C

) A．一定是异面直线

B．一定是相交直线

C．不可能是平行直线

D．不可能是相交直线

5．若实数a，b，c满足a＋2b＋c＝2，则( D

) A．a，b，c都是正数

B．a，b，c都大于1 C．a，b，c都小于2 D．a，b，c中至少有一个不小于12

6.由四种命题的关系可知，反证法的实质是通过逆否命题来证明原命题的正确性 . 7．用反证法证明命题“如果a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容应是a,b都不能被5整除．

8.求证：2,3,5不可能成等差数列. 证明：假设2,3,5是某一等差数列中的3项，设这一等差数列的公差为d，则

23md，53nd，其中m,n为两个正整数，由上两式中消去d得到m32m32n53，而n为有理数，53为无理数，所以m32n53，因此假设不成立，

2,3,5不可能成等差数列. 9.若x,y均是正实数，且xy2，求证：1y1x2中至少有一个成立. 2和xy证明：假设1y1x2都不成立，则

2和xy1y1x2. 2且xy又因为x,y都是正实数，

所以1x2y，相加得2xy2(xy)，1y2x所以xy2与xy2矛盾

。

所以假设不成立，原命题结论正确.