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《图形的相似、解直角三角形》专题训练 姓名 一、选择题：

1、在△ABC中，若三边BC、CA、AB满足BC：CA：AB＝5：12：13，则cos B＝ ( ) A．1、如图是市民广场到解百地下通道的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，∠ABC＝135°，BC的长约是52m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是______m．

2、如图在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC＝______米．

512512 B． C． D．

12513132、在□ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF：CF＝ ( ) A．1：2

B．1：3

C．2：3

D．2：5 3、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，若AD＝1， BC＝3，则S△AOD:S△BOC的值为 ( )

3、在207国道襄阳段改造工程中，需沿AC方向开山修路（如图），为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．在AC上的一点B取∠ABD＝140°，BD＝1000 m，∠D＝50°．为了使开挖点E在直线AC上，那么DE＝_______m．(供选用的三角函数值：sin 50°≈0.7660，

cos 50°≈0.6428， tan 50°≈1.192)

4、如图，孔明同学背着一桶水，从山脚A出发，沿与地面成30°角的山坡向上走，送水到山上

因今年春季受旱缺水的王奶奶家(B处)，AB＝80米，则孔明从A到B上升的高度BC是_ 米．

5、如图，DE是△ABC的中位线，M、N分别是BD、CE的中点，MN＝6，则BC＝_______．

1111 A． B． C． D．

24934、在△ABC中，AB>AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F在BC边上，连接DE、DF、EF，则添加下列哪一个条件后，仍无法判定△BFD与△EDF全等 ( ) A．EF∥AB B．BF＝CF

C．∠A＝∠DFE D．∠B＝∠DEF 5、如图，在□ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，它们相交于点G，延长BE交CD的延长线于点H．则图中相似三角形共有 ( ) A．2对

B．3对

C．4对

D．5对

236、如图，△ABC中，cos B＝，sin C＝，AC＝5，则△ABC的面积是 ( ) 2521A． B．12 C．14 D． 21 2二、填空题

- 1 -

6、如图，两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起，且∠DAB＝30°；有以下四个结论：①AF⊥BC；②△ADG≌△ACF；③O为BC的中点；④AG：DE＝3：4．其中正确结论的序号是______．

三、解答题

1、如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE＝AF．

求证：△ACE≌△ACF．

2、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，延长CB到点E，使BE＝AD，连接DE交AB于点M．

(1)求证：△AMD≌△BME；

(2)若N是CD的中点，且MN＝5，BE＝2，求BC的长．

3、如图△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长交CE于点E. (1)求证：△ABD∽CED；

(2)若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．

4、如图，某军港有一雷达站P，军舰M停泊在雷达站P的南偏东60°方向36海里处，另一艘军舰N位于军舰M的正西方向，与雷达站P相距182海里．求：

(1)军舰N在雷达站P的什么方向？

(2)两军舰M、N的距离．（结果保留根号）

5、如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度．已知在离地面1500 m高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°，求隧道AB的长(3≈1.73)．

- 2 -

6、某河道上有一个半圆形的拱桥，河两岸筑有拦水堤坝．其半圆形桥洞的横截面如图所示，已知上、下桥的坡面线ME、NF与半圆相切，上、下桥斜面的坡度i＝1：3.7，桥下水深OP＝5米．水面宽度CD＝24米．设半圆的圆心为O，直径AB在坡角顶点M、N的连线上．求从M点上坡、过桥、下坡到N点的最短路径长．（参考数据：π≈3，3≈1.7，tan 15°＝

四、选做题

1、已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若DE＝3，连接BE与对角线AC相交于点M，外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q. 试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．

拓展延伸

如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H. 若AB＝k

AE，AC＝k

AF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由．

1）

23MC则的值是________．

AM2、

情境观察

将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示．将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A′)、B在同一条直线上，如图2所示．

观察图2可知：与BC相等的线段是________，∠CAC′＝_________度．

问题探究

如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC- 3 -

26. (10分) 如图，等边△ABC的边长为4 cm，动点D从点B出发，沿射线BC方向移动，以AD为边作等边△ADE。

(1)如图①，在点D从点B开始移动至点C的过程中，

①△ADE的面积是否存在最大值或最小值? 如图，已知抛物线y＝0），过点C的直线y＝32x＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点， A点的坐标为（－1，43x－3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB4tHPBtt若存在，直接写出这个最大值或最小值；

若不存在，说明理由；

②求点E移动的路径长．

(2)如图②，当点D经过点C，

并在继续移动的过程中，点E能否移动

至直线AB上?为什么?

于点．若＝5，且0＜＜1．

（1）填空：点C的坐标是 ，b＝ ，c＝ ；

（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；

（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．

y

QHAOBxP

C

第26题图

- 4 -

【解答】（1）（0，－3），b＝－（2）由（1），得y＝两点，得B（4，0）．

∴OB＝4，又∵OC＝3，∴BC＝5．

9，c＝－3．

·················

3分

4

329x－x－3，它与x轴交于A，B44yQHPAOBx由题意，得△BHP∽△BOC，∵OC∶OB∶BC＝3∶4∶5，

∴HP∶HB∶BP＝3∶4∶5，∵PB＝5t，∴HB＝4t，HP＝3t．

∴OH＝OB－HB＝4－4t．由y＝C3x－3与x轴交于点Q，得Q（4t，0）．

4t∴OQ＝4t．

································

4分

①当H在Q、B之间时，QH＝OH－OQ＝（4－4t）－4t＝4－8t．5分

②当H在O、Q之间时，QH＝OQ－OH＝4t－（4－4t）＝8t－4．6分

综合①，②得QH＝｜4－8t｜；

·······················

6分

（3）存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似．

·········

7分

①当H在Q、B之间时，QH＝4－8t，

若△QHP∽△COQ，则QH∶CO＝HP∶OQ，得若△PHQ∽△COQ，则PH∶CO＝HQ∶OQ，得48t3t7＝，∴t＝．

·······

8分

34t323t48t2＝，即t＋2t－1＝0．∴t1＝2－1，t2＝34t－2－1（舍去）．

····························

9分

②当H在O、Q之间时，QH＝8t－4．

若△QHP∽△COQ，则QH∶CO＝HP∶OQ，得若△PHQ∽△COQ，则PH∶CO＝HQ∶OQ，得8t43t25＝，∴t＝．

·······

10分

34t323t8t42＝，即t－2t＋1＝0．∴t1＝t2＝1（舍去）．34t

·····································

11分

综上所述，存在的值，t1＝2－1，t2＝725，t3＝．

············

12分

3232- 5 -