三角形内角和定理教案2

9.2

三角形的内角和外角

1.理解三角形内角和定理的证明,掌握三角形内角和定理及其推论,并会用它们进行有关计算.

2.知道三角形的外角,经历三角形内角与外角之间关系的探究过程,了解三角形内角与外角的关系.

3.能够按边和角对三角形进行分类.

通过观察、操作、想象、推理、交流等活动,发展空间观念、推理和有条理的表达能力.

让学生在数学活动中通过相互间的合作与交流,获得必需的数学知识,激发学习兴趣,培养学生的相互协作意识及数学表达能力.

【重点】

三角形内角和定理的证明及其推论;三角形内角与外角之间的关系.

【难点】

三角形的内角和和外角和的推导过程;按照不同方法对三角形进行分类.

第课时

掌握三角形内角和定理及其推论.

通过多种方法探索三角形内角和定理.

培养学生的探索热情和创新精神.

【重点】

三角形内角和定理的探索.

【难点】

通过添加辅助线的方法推导三角形内角和定理.

【教师准备】

多媒体课件.

【学生准备】

回忆小学时学过的有关三角形的知识.

导入一:

1.量一量:一副三角板的每个角各是多少度?一个三角板三个内角的和各是多少? 2.猜一猜:任意一个三角形的三个内角和都相同吗?它是多少度呢? 3.动动手,仔细观察.

(1)拼拼看,将任意一个三角形的三个内角拼合在一起会形成什么角? (2)小组内观察比较,会得出什么结论?

导入二:

[设计意图]

学生根据探究步骤,依次进行猜想、测量、拼接等活动,获得对于三角形内角和的认识.

请你来当法官:仔细阅读三角形红和三角形蓝的对话,看看谁说得有道理.

三角形蓝和三角形红见面了.

蓝炫耀地说:“我的面积比你大,所以我的内角和也比你大!”

红不服气地说:“那可不好说噢,你自己量量看!”

同学们,它们谁说得有道理? [设计意图]

通过情境问题引发学生对三角形内角和的思考,激发学生学习的兴趣.

[过渡语]

在小学,我们已经知道三角形的三个内角之和是180°.怎样说理呢? 活动1

探索三角形内角和定理

思路一

1.拼图直观感受三角形内角和.

如图所示,在小学,我们通过剪拼发现了三角形的三个内角和等于180°.从这种剪拼过程中,你能得到什么启示?其中哪两条直线是平行的?

【追问】

你能用哪些方法说明图中的相关两条直线是平行的? (提示:可以通过内错角或同位角相等判断.) 2.拼图说明三角形内角和定理.

如图所示,已知△ABC.延长BC到点D,过点C作直线CE∥AB,得到∠4和∠5.∠4和∠5与三角形的内角有什么关系?

把上述两图结合起来看,剪拼的过程相当于把∠2沿BC方向平移到∠5的位置,从而有AB∥CE.由此我们得到启发:如果延长BC到点D,过点C作直线CE∥AB,那么∠2与∠5是同位角,∠1与∠4是内错角.利用平行线的性质定理以及等量代换,就把三角形三个内角∠1,∠2与∠3的和转化成了∠3,∠4与∠5的和,而这三个角恰好构成一个平角.

3.推导三角形内角和定理.

如图所示,已知△ABC.对∠A+∠B+∠ACB=180°的说理过程如下:

延长BC到点D,作CE∥AB.

因为CE∥AB, 所以∠1=∠4(两直线平行,内错角相等), ∠2=∠5(两直线平行,同位角相等).

因为∠3+∠4+∠5=180°(平角的定义), 所以∠1+∠2+∠3=180°(等量代换), 即∠A+∠B+∠ACB=180°.

三角形内角和定理:三角形的内角和等于180°.

4.三角形内角和定理的其他说理方法.

[过渡语]

在上面的推理过程中,关键是作一条与三角形某一边平行的辅助线.

请根据下图给出的图示(过点C作ED∥AB),对“三角形内角和等于180°”说理.

【思考】

(1)在上图中,相当于把∠A和∠B移到了哪个位置? (2)过点A作ED∥BC,对“三角形内角和等于180°”进行说理可以吗? (3)过点B作ED∥AC,对“三角形内角和等于180°”进行说理可以吗? [设计意图]

通过小组讨论、直观教具演示等手段,激发了学生学习的兴趣,另一方面使学生通过多角度思考、分析、说理、操作加深学生对三角形内角和为180°的理解,从而突出和解决了本节课的重点,同时在教学中注重在直观操作的基础上进行简单的推理,使学生学会用一定的方式有条理地表达推理过程,为今后的几何证明打下基础.

[知识拓展]

本定理尽管证明思路很多,但其基本思想是设法将三个角拼合在一起,组成一个平角.上述探索的意义旨在锻炼发散思维能力,证明的关键在于要善于联想,不断地总结、归纳规律,利用已有知识分析和解决问题.

思路二

[过渡语]

结合其他的拼接方法,你还能得到怎样的证明方法?还有其他的证明方法吗? 【师生活动】

学生根据已有的证明方法和拼接经验,自主思考三角形内角和定理的证明过程,最后小组讨论,师生交流得到证明方法,学生书写证明过程.

辅助线的作法:(1)延长BC,过点C作CN∥AB.

证明:因为CN∥AB, 所以∠ACN=∠A(两直线平行,内错角相等), ∠NCM=∠B(两直线平行,同位角相等), 因为∠ACB+∠ACN+∠NCM=180°, 所以∠A+∠B+∠ACB=180°.

(2)如图所示,在BC边上任取一点D,作DE∥AB,交AC于E,DF∥AC,交AB于F.

因为DF∥AC(已作), 所以∠1=∠C(两直线平行,同位角相等), ∠2=∠DEC(两直线平行,内错角相等).

因为DE∥AB(已作), 所以∠3=∠B,∠DEC=∠A(两直线平行,同位角相等).

所以∠A=∠2(等量代换).

又因为∠1+∠2+∠3=180°(平角的定义), 所以∠A+∠B+∠C=180°(等量代换).

(3)如图所示,过A点任作直线l1,

过B点作l2∥l1,过C点作l3∥l1.

因为l1∥l3(已作), 所以∠1=∠2(两直线平行,内错角相等).

同理∠3=∠4.

又因为l1∥l2(已作), 所以∠5+∠1+∠6+∠4=180°(两直线平行,同旁内角互补), 所以∠5+∠2+∠6+∠3=180°(等量代换).

又因为∠2+∠3=∠ACB, 所以∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°(等量代换).

师生总结并板书:三角形内角和定理:三角形内角和为180°.

活动2

例题讲解

(教材第104页例1)如图所示,在△ABC中,∠A=30°,∠B=65°,求∠C的度数.

解:因为∠A+∠B+∠C=180°(三角形内角和定理), 所以∠C=180°-(∠A+∠B).

因为∠A=30°,∠B=65°(已知), 所以∠C=180°-(30°+65°)=85°.

三角形三个内角的和等于180°.

1.(滨州中考)在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,则∠C等于

(

) A.45°

B.60°

C.75°

D.90°

解析:方法1:因为三角形内角和是180°,所以∠C=180°×

=75°.方法2:设∠A=3x°,∠B=4x°,∠C=5x°, 则3x+4x+5x=180,解得x=15,所以5x=75,即∠C=75°.故选C. 2.(宜昌中考)如图所示,AB∥CD,FE⊥DB,垂足为E,∠1=50°,则∠2的度数是

(

)

A.60°

B.50°

C.40°

D.30°

解析:利用平行找出∠2和∠D的关系,再利用∠D和∠1的关系求出∠2的度数.因为AB∥CD,所以∠2=∠D,又因为EF⊥DB,所以∠DEF=90°,所以∠1与∠D互余,得∠2=∠D=90°-∠1=90°-50°=40°.故选C.

3.若直角三角形的一个锐角为20°,则另一个锐角等于

.

解析:因为一个直角三角形的一个锐角是20°,所以它的另一个锐角的大小为90°-20°=70°.故填70°.

4.如图所示,从电线杆离地面一定距离的B处向地面拉一条长8米的缆绳,通过测量,缆绳BC与地面的夹角为46°,则缆绳与电线杆的夹角为

.

解析:直角三角形的两锐角互余.故填44°.

5.一块模板如图所示,按规定AF,DE的延长线相交成85°角,因交点不在板上,不便测量,工人师傅连接AD,测得∠FAD=34°,∠ADE=63°,请问此时AF,DE的延长线相交所成的角是不是符合规定?为什么?

解:不符合规定.理由如下:设AF,DE的延长线相交于G点, 可得△AGD.

因为∠FAD=34°,∠ADE=63°, 所以∠AGD=180°-34°-63°=83°≠85°, 所以不符合规定.

活动1

探索三角形内角和定理

活动2

例题讲解

例题

第1课时

一、教材作业

【必做题】

教材第105页习题A组的第3题.

【选做题】

教材第105页习题B组的第2题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.△ABC的内角和为

(

) A.180°

B.360°

C.540°

D.720°

2.如图所示,直角三角形ABC中,∠ACB=90°,DE过点C且平行于AB,若∠BCE=35°,则∠A的度数为

(

)

A.35°

B.45°

C.55°

D.65°

3.(沈阳中考)如图所示,在△ABC中,点D是边AB上一点,点E是边AC上一点,且DE∥BC,∠B=40°,∠AED=60°,则∠A的度数是 (

)

A.100°

B.90°

C.80°

D.70°

4.如图所示,CD,BE相交于点A,若∠B=70°,∠DAE=60°,则∠C=

.

5.将一副三角板拼成如图所示的图形,过点C作CF平分∠DCE交DE于点F.

(1)试说明CF∥AB; (2)求∠DFC的度数.

【能力提升】

6.已知△ABC中,∠B是∠A的2倍,∠C比∠A大20°,则∠A等于

(

) A.40°

B.60°

C.80°

D.90°

7.如图所示,AB∥CD,AD和BC相交于点O,∠A=40°,∠AOB=75°,则∠C等于

(

)

A.40°

B.65°

C.75°

D.115°

8.在△ABC中,∠A=∠B=∠C,试判断三角形的形状,答:

.

9.如图所示,点B,C,E,F在一条直线上,AB∥DC,DE∥GF,∠B=∠F=72°,则∠D=

度.

10.如图所示,在△ABC中,BC边不动,点A竖直向上运动,∠A越来越小,∠B,∠C越来越大.若∠A减少α度,∠B增加β度,∠C增加γ度,则α,β,γ三者之间的等量关系是

.

【拓展探究】

11.一个大型模板如图所示,设计要求BA和CD相交成30°角,DA和CB相交成20°角,怎样通过测量∠A,∠B,∠C,∠D的度数来检查模板是否合格? 【答案与解析】

1.A(解析:由三角形的内角和定理得△ABC的内角和为180°.) 2.C(解析:题中有三个条件,图形为常见图形,可先由AB∥DE,∠BCE=35°,根据两直线平行,内错角相等求出∠B,然后根据三角形内角和为180°求出∠A.因为AB∥DE,∠BCE=35°,所以∠B=∠BCE=35°(两直线平行,内错角相等),又因为∠ACB=90°,所以∠A=90°-35°=55°.) 3.C(解析:先根据两直线平行,同位角相等得∠ADE的度数,然后根据三角形的内角和定理求出∠A的度数.因为DE∥BC,所以∠ADE=∠B=40°.因为∠AED=60°,所以∠A=180°-∠ADE-∠AED=180°-40°-60°=80°.) 4.50°(解析:因为∠DAE=60°,所以∠BAC=∠DAE=60°.因为∠B=70°,所以∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-70°-60°=50°.) 5.解:(1)由三角板的性质可知∠D=30°,∠BAC=45°,∠DCE=90°.因为CF平分∠DCE,所以∠DCF=∠ECF=∠

DCE=45°,所以∠DCF=∠BAC,所以CF∥AB. (2)由三角形内角和定理可得∠DFC=180°-∠DCF-∠D=180°-45°-30°=105°.

6.A(解析:依题意得∠B=2∠A,∠C=∠A+20°,因为∠A+∠B+∠C=180°,所以∠A+2∠A+∠A+20°=180°,所以∠A=40°.) 7.B(解析:由∠A=40°,∠AOB=75°,根据三角形内角和定理,即可求得∠B的度数,又由AB∥CD,根据两直线平行,内错角相等,即可求得∠C的度数.因为∠A=40°,∠AOB=75°,所以∠B=180°-∠A-∠AOB=180°-40°-75°=65°,因为AB∥CD,所以∠C=∠B=65°.) 8.△ABC为直角三角形(解析:因为∠A=∠B=∠C,所以∠B=2∠A,∠C=3∠A,因为∠A+∠B+∠C=180°,所以∠

A+2∠A+3∠A=180°,所以∠A=30°,所以∠C=90°,因此△ABC为直角三角形.) 9.36(解析:因为AB∥DC,DE∥GF,所以∠DCE=∠B=72°,∠DEC=∠F=72°,所以∠D=180°-∠DCE-∠DEC=36°.) 10.α=β+γ(解析:∠A-α+∠B+β+∠C+γ=180°,而∠A+∠B+∠C=180°,于是有α=β+γ.故填α=β+γ.) 11.解:利用三角形内角和定理,如图所示,延长BA,CD相交于E,延长DA,CB相交于F,因为∠BEC=30°,所以∠EBC+∠C=150°,即此时BA与CD相交成30°角,同理,只要量得∠C+∠CDA=160°,那么DA与CB相交成20°角.

以往学生接触的三角形内角和知识是建立在直接观察基础上的,本课时是通过说理方式得到的,而且是鼓励学生通过多种方式探索出三角形内角和定理,这是本课时整体设计的最大成功之处.

对学生多种方式说明的三角形内角和定理没有一一展示和肯定,对学生的积极思维没有给予及时鼓励.

通过拼图的方法验证三角形内角和定理可交给学生独立完成.补充例题,增加学生对知识的理解程度.PPT课件展示学生可能用到的说明方法.

练习(教材第104页) 1.解:∠A=180°-∠B-∠C=180°-62°24'-28°52'=88°44'.

2.解:设∠A=x,则∠B=2x,则x+2x+36°=180°,解得x=48°.所以∠A=48°,∠B=96°.

3.解:∠B=(180°-∠C)=(180°-42°)=69°.

习题(教材第105页) A组

1.提示:(1)65°. (2)71°17'. (3)90°.

2.解:由已知得∠C=∠A-35°,∠B=∠A+5°.因为∠A+∠B+∠C=180°,所以3∠A-30°=180°,解得∠A=70°,所以∠B=75°,∠C=35°.

3.提示:(1)∠A=∠B=30°,∠C=120°. (2)∠A=∠B=∠C=60°. (3)∠A=50°,∠B=40°,∠C=90°.

4.解:设三个内角的度数分别为2x,3x,7x,则2x+3x+7x=180°,解得x=15°,则2x=30°,3x=45°,7x=105°.所以三角形的三个内角的度数分别为30°,45°,105°.

B组

1.解:由∠C=∠ABC=2∠A,∠A+∠ABC+∠C=180°,得5∠A=180°,即∠A=36°,所以∠ABC=2∠A=72°.又∠ADB=90°,所以∠ABD=90°-∠A=54°,所以∠DBC=∠ABC-∠ABD=72°-54°=18°.

2.解:由折叠可知∠CED=∠C'ED,∠CDE=∠C'DE.又∠1=180°-∠CEC'=180°-2∠CED,∠2=180°-∠CDC'=180°-2∠CDE,所以∠1+∠2=180°-2∠CED+180°-2∠CDE=360°-2(∠CED+∠CDE).又∠CED+∠CDE=180°-∠C,所以∠1+∠2=360°-2(180°-∠C)=2∠C.当∠C=45°时,∠1+∠2=90°.

三角形内角和定理的意义.

《三角形的内角和外角》一课,是在学生前面认识了三角形任意两边之和大于第三边、三角形按照边分类之后进行的.这节课主要探究三角形的内角和是180度,并运用这一特性解决一些数学题.它是掌握多边形内角和及其他实际问题的基础,因此,掌握“三角形的内角和是180°”这一规律具有重要意义.

三角形内角和定理的综合运用

如图是A,B,C三岛的平面图,C岛在A岛的北偏东50°方向,B岛在A岛的北偏东80°方向,C岛在B岛的北偏西40°方向,从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度?从C岛看A,B两岛的视角∠ACB呢?

〔解析〕

A,B,C三岛的连线构成△ABC,所求的∠ACB是△ABC的一个内角,如果能求出∠CAB,∠ABC,就能求出∠ACB的度数.

解:∠CAB=∠BAD-∠CAD=30°, 因为AD∥BE,所以∠BAD+∠ABE=180°, 所以∠ABE=100°,∠ABC=60°, 所以在△ABC中,∠ACB=180°-30°-60°=90°.

[解题策略]

解答本题关键是明确方向角的定义,知道题目所给出的角的度数,再运用平行线的性质和三角形的内角和定理解答问题.