复习题第二课时教案

二

次

函

数

综

合

应

用

——与二次函数有关的三角形面积研究

授课教师：刘馨梅

授课班级： 一、学情分析

学生已有完整的二次函数知识体系，在此基础上，进一步深入研究二次函数与三角形面积相结合的问题，让学生进一步体会并建立起函数与几何之间的链接. 二、教学任务分析 ●

教学内容

本节内容安排1个课时完成．主要研究抛物线中特殊点构成的三角形面积及在二次函数框架中对三角形面积变换的研究．

●

地位及作用

二次函数是初中数学中重要知识点.在对它与几何图形相结合的研究中可以充分体现函数思想、方程思想及数形结合、分类、变换的思想，因此历来在中考中是作为学生能力测试的最好载体．

三、教学目标分析

●

教学目标

知识与技能目标

1．掌握二次函数中特殊点构成三角形面积的计算方法；

2．能对几何信息与函数信息进行熟练地转换；

3．掌握三角形面积在底不变的前提下的变化规律．

过程与方法目标

通过对函数信息与几何信息的转化，发展学生的形象思维，从而建立函数与几何的链接．同时在教师引导下，以学生自主探究、合作交流的方式展开教学活动，引导学生从事观察、探究、交流、归纳等探索活动．使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习模式．

情感与态度目标

进一步丰富数学学习的成功体验,并形成积极参与数学活动、主动与他人合作交流的意识.

●

教学重点

1.二次函数图像上特殊点构成的三角形的面积计算；

2.三角形面积变化规律在二次函数框架中的运用．

●

教学难点

1

三角形面积变化在二次函数中的运用并能结合函数知识求出满足条件点的坐标．

四、教法学法

●

教学方法：引导——探究——归纳

本节课的教学对象是进入总复习阶段的初三学生,他们的参与意识较强,思维活跃,对二次函数有较好的知识基础,为了实现本节课的教学目标,我力求从以下三个方面对学生进行引导: 1. 从创设问题情景引入,通过对旧知识复习,展开教学过程；

2. 从简单例题入手,通过不断变式,层层深入，顺势教学过程；

3. 利用探索,研究手段,通过深入思维,引导教学过程. ●

课前准备

教具: 教案、电脑、多媒体课件. 学具: 学案、笔记本、课堂练习本、作图工具. 五、教学过程

第一环节: 引入课题

学生观察动画，通过往届中考原题呈现，找出题目的共性——与三角形的面积相关

1. (2015年成都)28．（本小题满分12分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点

A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b 与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点

为D，且CD＝4AC．

（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式

（其中k、b用含a的式子表示）；

（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为2.

(2016年绵阳)如图，抛物线y=ax+bx+c(a≠0)与x轴

交于A、B两点，与y轴交于点C(0,3)，且此抛物线的顶点坐

标为M（-1,4）。

（1）求此抛物线的解析式。

（2）设点D为该抛物线对称轴上的任意一点，当△ACD 与△ACB面积相等时，求点D的坐标。

225

，求a的值；

42

3. (义乌中考)如图,抛物线yax2bxc的顶点M的坐标是(1,3),且与y轴交于点C(0,2)，与x轴交于A、B两点. (1)写出抛物线解析式 ；

(2)点P是抛物线上的一点,且使△ABP的面积等于△

ABM 的面积,则所有满足条件的点P 的个数为 . 4. (四川南充中考)二次函数yAOBxyMC128xx3与x轴交于A、B两点，与y轴交于33点C，那么在此抛物线上是否存在这样的点P，

使S△APB=2S△ABC

，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由. 设计说明：激发学生的求知欲望,吸引同学们的注意力,并把本节内容抛出,达到引入本节课的内容——与二次函数有关的三角形面积研究.同时以往届中考原题呈现的方式让学生感知本课内容的重要性. 对抛物线上特殊点构成的三角形面积计算进行归纳总结: 对于抛物线yax2bxc(a0)

前提:b4ac0 22yCMAONBx重要四点: A(x1,0) B(x2,0) 其中x1,x2是方程axbxc0的两根. b4acb2,) C(0,c) M(2a4a四个重要的三角形: △ABC △ABM △ACM △BCM

面积的求法: SABC SABM1ABOC

21ABMN

2 SACMSAOCSOCMNSAMB

SBCMSBMNSOCMNSOBC

第二环节: 知识讲解

例1

已知抛物线yx2x3与x轴交于不同的

两点A和B（点A在B的左侧），与y轴交于C点. (1)求△ABC的面积. AOBx2yCM3

设计说明：从简单例题入手,让学生体验几何知识在其中的运用,并感受解决此类问题的一般方法, 建立一个初步的函数模型, 为后面的变式奠定基础,也让学生感受成功的喜悦.

答案: S△ABC＝6 练习: 1、

分别求出例1中△ABM、△ACM、△BCM的面积? 2、

如图,二次函数yx24x3的图像交x

轴于A、B两点,交y轴于C点,则△ABC的面积为 ( ) A.6 B.4 C.3 D.1 3、

已知抛物线yx2bxc与y轴交于点A,与x轴

的正半轴交于B、C两点,且BC=2,S△ABC =3,那么c= . 答案: (1) △ABM、△ACM和△BCM的面积分别为：8、1、3；

(2)

C；

(3) 3.

变式一

(2) 在抛物线上是否存在点P(不与C重合),使△ABP的

面积等于△ABC

的面积?若存在,请求出所有满足的P点;若不

存在，请说明理由? 设计说明：通过该变式，让学生进一步探究已知三角形一定边与面积的前提下, 第三顶点在抛物线上的存在性问题,并引导学生结合已有知识,大胆猜想,勇于探索,鼓励学生积极思维,帮助学生提高分析,解决问题的能力,体验解决存在性问题的一般方法. 复习内容: (1)在平面内已知三角形一边及面积,第三顶点在

平行于定边且距离等于高的两条平行线上；

(2) 平面直角坐标系中点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值. 答案：

P点坐标为 (2,3)、(17,－3)、(17,－3). 变式二

(3) 在抛物线上是否存在点P,使△ABP的面积等于△ABC

面积的2倍?若存在,请求出所有满足的点P

；若不存在请说明理由? 设计说明:在三角形底不发生变化的前提下,让学生进一步掌握三角形面积之比等于高AC'BCy4321-1OA1-123BxCyCMAOBx4

之比，并能熟练的转化为函数信息. 答案: P点坐标为 (110,6)

练习: 在例1的抛物线上是否存在点P,使△ABP的面积

等于△ABC

面积的1?若存在,那么有几个满足的P点

；若不存在请说明理由? 2答案: 四个P点. 设计说明 : 对满足条件点的个数进行归纳: 前提：已知三角形定边及三角形面积. y5

yy455

C344

2C3C3122

O1-2-12311B45A-1

O1-2-1234O1-2-12345B-2A-1B

A-1-3-2-2

-4-3-3-5-4

-4 四个交点 三个交点 -5两个交点

-5第三环节: 挑战自我

xx5x变式三 在例1的抛物线上是否存在异于点A的P点,使△BCP的面积等于△ABC的面积. 设计说明：通过变式，让学生感受三角形底边不在x轴上,

第三顶点在抛物线上的存在性问题,并能通过讨论去感知解题思路,与例一的变式进行类比. 答案：P点的坐标

(4,5)

第四环节

课后小结

今天，你有什么收获？

设计说明：鼓励学生结合本节课的学习内容,谈谈自己的收获和感想(学生畅所欲言,教师正确点评并给予鼓励),进一步巩固本节课的知识.

第五环节

课外探究

变式四: 在抛物线上是否存在一个点P,使△PCB的面积等于

yCM△MBC面积的请说明理由?

1,若存在,求出满足条件的P点坐标;若不存在, 2AOBx第六环节

布置作业

1.专题作业单

2.收集近三年中考出现的二次函数与三角形形状的相关题目，先自行研究！

5

流程图

开始

引入课题

（观看动画）

知识讲解

例一

否

巩固练习

是

变式练习

否

练习

是

挑战自我

课后小结

课外探究

布置作业

结束

6