*8 三元一次方程组国家获奖教案

课题：三元一次方程组



教学目标：

知识与技能目标：

1.

能正确说出三元一次方程（组）及其解的概念，能正确判别一组数是否是三元一次方程（组）的解；

2.

会根据实际问题列出简单的三元一次方程或三元一次方程组。

过程与方法目标：

1.

通过加深对概念的理解，提高对“元”和“次”的认识。

2.

能够逐步培养类比分析和归纳概括的能力，了解辩证统一的思想。

情感态度与价值观目标：

1.

通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生良好的数学应用意识。



重点：

1.

掌握三元一次方程及三元一次方程组的概念，理解它们解的含义；

2.

判断一组数是不是某个三元一次方程组的解.



难点：

从实际问题中抽象出三元一次方程组的过程，体会数学方程的建模思想。



教学流程：

一、

课前回顾

在横线上分别填上“元”、“次”、“二元”、“一次”的含义

二、

情境引入

探究1：已知甲、乙、丙三个数的和是23，甲数比乙数大1，甲数的2倍与乙数的和比丙数大20，求这三个数。

同学们，有三个未知量，应该怎么办呢？

甲数+乙数+丙数=23 甲数=乙数+1 2×甲数+乙数=丙数+20 设甲数为x，乙数为y，丙数为z

根据题意，可得三个方程：

x+y+z=23

①

x=y+1

②

2x+y-z=20

③

观察方程①、②、③你能得出什么？

结论：二都含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做三元一次方程.

这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在一起，写成

x+y+z=23

①

x=y+1

②

2x+y-z=20

③

总结：这个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.

练习1：1.（多选）下列方程组中，是三元一次方程组的是（AB

）

2.下列方程组中是三元一次方程组的是（

A

）

1xxz1x2y15xyxy12x2yz51A.xyz3

B.3xy4

C.xx(yz)6

D.y3

xxyz1x3yz51yz3zx5

探究2：1、解二元一次方程组的方法有哪些？

代入消元法

加减消元法

2、解二元一次方程组的基本思路是什么？

消元

提问：怎样解三元一次方程组？

归纳：三元一次方程组求法步骤：

1.化“三元”为“二元”

2.化“二元”为“一元”

解答：1 .

化“三元”为“二元”

将②代入①和③中，得二元一次方程组

2y+z=22

④

3y-z=18

⑤

2.

化“二元”为“一元”

④+⑤得

5y=40 Y=8 将y=8代回①、

②和③中，得

X=9 Y=8

Z=6 所以，甲数为8，乙数为8，丙数为6

练习2：

xz4

1、解方程组

z2y1

的解是（

A

）

xyz1

x1x1A、

y3

B、y1

C、

z5z5x2y3

D、

z6x1y2

z32、下列四组数中，适合三元一次方程组2x-y+z=6的是（

C

）

A、x=1,y=-1,z=-3

B、x=1,y=1,z=4 C、x=0,y=0,z=6

D、x=-1,y=1,z=3 3. 如果与是同类项，求，，的值．

解：根据题意得x1，解得y2．

z3三、合作探究

探究3：小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍.求1元、2元、5元纸币各多少张.

问题中含有几个未知数？有几个相等关系？

分析：（1）这个问题中包含有

3

个相等关系：

1元纸币张数＋2元纸币张数＋5元纸币张数＝12张，

1元纸币的张数＝2元纸币的张数的4倍，

1元的金额＋2元的金额＋5元的金额＝22元.

（2）这个问题中包含有

3

个未知数: 1元、2元、5元纸币的张数. 根据等量关系列出方程

设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张. 根据题意，可以得到下面三个方程：

x+y+z=12 x=4y x+2y+5z=22 将②代入①和③中，得二元一次方程组

5y+z=12

④

6y-5z=22

⑤

由④得

z=12-5y

⑥

将⑥代入⑤中得

Y=2 将y=2代回①、

②和③中，得

X=8 Y=2

Z=2 所以，1元为8张，2元为2张，5元为2张

练习3：

1. 若，则_15_______．

提示：根据题意得, 解得，所以．

2、若

xyz

，则

2342xy4z17

的值是

. 3y9解：设

xyz

=k，则x=2k,y=3k,z=4k, 2342xy4z

将它们代入代数式：3y

=

四、达标测评

1、含有三个不同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是

1

，并且一共有

3

个方程，这样的方程组叫做三元一次方程组. 2、解三元一次方程组的基本思路：通过“代入

”或“加减

”，进行消元，把它转化为二元一次方程组或一元一次方程. 3、解下列方程组：

4k3k16k17=

99k

（1）解：①×2-②，得

5x+3y=19

④

②+③×2,

得

5x+7y=31

⑤

由④和⑤组成方程组5x3y195x7y31

解这个方程组，得x2y3

把

x=2,y=3代入②，得

2+3+2z=7

所以

z=1

x2

因此，原方程组的解为y3

z1

（2）解：由方程①得

4x-3y=0

④

由方程②得

6y-5z=0

⑤

③×4-④得

7y-4z=88

⑥

由⑤和⑥组成方程组

6y5z07y4z88

解这个方程组，得

y40z48

把y=40,z=48代入③，得

x+40-48=22

所以

x=30 x30

因此，这个方程组的解为y40

z484.已知关于x，y，z的三元一次方程ax+by+5z=26有两个解x4y1

，求a，b的值

z2解：将两个解代入方程可得a2b15264ab1026

x1y2z3和

解得五、应用提高

a3

b4 某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的

，厂家需付甲、丙两队共5500元. （1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？

（2）若工期要求不超过15天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花费最少？请说明理由. 解：（1）设甲、乙、丙队每天完成工作量分别是

x,y,z，依题意有

116(xy)1zxy63011yzx 即 解得

10(yz)110102215zx(zx)y15315答：甲、乙、丙各队单独完成全部工程，分别需要10天，15天和30天.

（2）设每天付给甲队a元，乙队b元，丙队c元，根据题意得

6(ab08700ab1450

10(bc)9500即bc950

ac11005(ac)5500a800解得b650

c300即10a=8000（元）15b=9750（元）

因为丙队完成全部工程的期限已超过15天，所以不可能被聘用.又因为甲队完成全部工程需花8000元，而乙队完成全部工程需花9750元，所以应选择甲队完成此项工程. 答：由甲队完成此项工程花钱最少.

六、体验收获

1.什么是三元一次方程

2.什么是三元一次方程组

3.三元一次方程组的解法

七、布置作业

教材132页习题第2、3题。