平面直角坐标系中特殊点的横、纵坐标关系教学设计实例

平面直角坐标系

教学目标

1、位置的确定

2、有序实数对

3、平面直角坐标系的有关概念

4、坐标平面内点P(a,b)的坐标的特征

5、坐标系内图形的平移

重点、难点

点与坐标的对应关系；坐标平面内点的特殊的坐标特征；坐标系内图形的平移

考点及考试要求

教学内容

知识结构图：

一、知识要点：

（一）有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对。记作（a ，b）

（二）平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标

系；

1、坐标平面上的任意一点P的坐标，都和惟一的一对

有序实数对（a,b）一一对应；其中，a为横坐标，b为

纵坐标坐标；

2、x轴上的点，纵坐标等于0；y轴上的点，横坐标等于0；坐标轴上的点不属于任何象限

（三）四个象限的点的坐标具有如下特征：

象限

第一象限

第二象限

第三象限

第四象限

横坐标x

正

负

负

正

纵坐标正

正

负

负

y

1、点P（x,y）所在的象限

横、纵坐标x、y的取值的正负性；

2、点P（x,y）所在的数轴

横、纵坐标x、y中必有一数为零；

（四）在平面直角坐标系中，已知点P(a,b)，则

1、点P到x轴的距离为b； 2、点P到y轴的距离为a；

3、点P到原点O的距离为PO＝

a2b2

（五）平行直线上的点的坐标特征：

1、在与x轴平行的直线上，

所有点的纵坐标相等；

Y y

a

P（a,b）

b

O

x

A B 点A、B的纵坐标都等于m；

m

X 2、

2、在与y轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；

C Y n

点C、D的横坐标都等于n；

（六）对称点的坐标特征：

D X 1、点P(m,n)关于x轴的对称点为P1(m,n)，

即横坐标不变，纵坐标互为相反数；

2、点P(m,n)关于y轴的对称点为P2(m,n)，

即纵坐标不变，横坐标互为相反数；

3、点P(m,n)关于原点的对称点为P3(m,n)，即横、纵坐标都互为相反数；

y

n

O P y y P2

X n

O P n

P m

P1

n

m

m

m

X O m

X P3

n

关于x轴对称 关于y轴对称 关于原点对称

（七）两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：

1、若点P（m,n）在第一、三象限的角平分线上，则mn，即横、纵坐标相等；

2、若点P（m,n）在第二、四象限的角平分线上，则mn，即横、纵坐标互为相反数；

在第一、三象限的角平分线上 在第二、四象限的角平分线上

（八）利用平面直角坐标系绘制区域内一些点分布情况平面图过程如下：

1、建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；

2、根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；

3、在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。

（九）用坐标表示平移：见下图

二、题型分析：

题型一：

代数式与点坐标象限判定

此类问题通常与不等式（组）联系在一起，或由点所在的象限确定字母的取值范围，或由向下平移a个单位向左平移a个单位O y y n

P P n

m

X m

O X P（x，y＋a）

向上平移a个单位P（x－a，y）

P（x，y）

向右平移a个单位P（x＋a，y）

P（x，y－a）

字母的取值范围确定点所在的象限．

【例1】在平面直角坐标系中，点3，2在（

）

Ａ．第一象限

Ｂ．第二象限

Ｃ．第三象限

Ｄ．第四象限

12m）的横坐标与纵坐标互为相反数，则点P一定在（

）

【例2】若点P（m，

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

【例3】若点P（a，b）在第四象限，则点M（b-a，a-b）在

（

）

A、第一象限

B、第二象限

C、第三象限

D、第四象限

【例4】如果a－b＜0,且ab＜0,那么点(a，b)在 ( )

A、第一象限

B、第二象限

C、第三象限,

D、第四象限.

【例5】对任意实数x，点P（x，x2－2x）一定不在（

）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

【例7】点P（x，y）在第四象限，且|x|=3，|y|=2，则P点的坐标是

。

【例8】若点M (1 – x，x + 2 ) 在第二象限内，则x的取值范围为 ；

习题演练：

1、在平面直角坐标系中，点P（m22,4）一定在 象限。

2、点P（x－1，x＋1）不可能在（

）

A、第一象限

B、第二象限

C、第三象限

D、第四象限

3、如果点M（a＋b，ab）在第二象限，那么点N（a，b）在第________象限。

4、点Q (3 –

a，5 –

a )在第二象限，则a - 4a + 4 + a - 10a + 25 = ；

5、点M（a，a-1）不可能在

（

）

A、第一象限

B、第二象限

C、第三象限

D、第四象限

6、如果 2 2y＜0，那么点P（x，y）在

（ ）

x A、

第二象限 B、第四象限 C、第四象限或第二象限 D、第一象限或第三象限

题型二：用代数式求坐标轴上的点坐标

例1：在平面直角坐标系中，已知点P（m5,m2）在x轴上，则P点坐标为

例2：已知:A(1,2),B(x,y),AB∥x轴,且B到y轴距离为2,则点B的坐标是 .

习题演练：

1、已知点A（m，-2），点B（3，m-1），且直线AB∥x轴，则m的值为

。

2、已知线段AB=3，AB∥x轴，若点A的坐标为（1，2），则B点的坐标为 ；

3、已知点P（x-3，1）在一、三象限夹角平分线上，则x= .

题型三：求对称点的坐标

2

解答此类问题所需知识点是：点（a,b）关于x轴的对称点是(a,-b)，关于y轴的对称点是(-a,b)，关于原点的对称点是（-a,-b）．

【例1】在如图1所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，如果以MN所在的直线为y轴，以小正方形的边长为单位长度建立平面直角坐标系，使A点与B点关于原点对称，则这时C点的坐标可能是（

）

Ａ．(1，3)

Ｃ．(2，1)

例1：点M（2，－3）关于x轴的对称点N的坐标为 ；

关于y轴的对称点P 的坐标为 ；关于原点的对称点Q的坐标为 。

例2

已知点A（a，－5），B（8，b）根据下列要求，确定a，b的值．

（1）A，B两点关于y轴对称；

（2）A，B两点关于原点对称；（3）AB∥x轴；

（4）A，B两点在一，三象限两坐标轴夹角的平分线上．

习题演练：

1、点P(1，2)关于x轴的对称点的坐标是

，关于y轴的对称点的坐标是

，关于原点的对称点的坐标是

；

2、在平面直角坐标系下，下列各组中关于原点对称又关于y轴对称的点是（

）

A、（3，－2）（－3，－2）

B、（0，3）（0，－3）

C、（3，0）（－3，0）

D、（3，－2）（－3，2）

题型四：根据坐标对称求代数式的值

例1：已知点P(2a3,3)和点A(1,3b2)关于x轴对称，那么ab=

；

习题演练：

1、已知点A（2a+3b，－2）和点B（8，3a+2b）关于x轴对称，那么a+b=（

）

A、2

B、－2

C、0

D、4 2、已知：点P的坐标是(m,1)，且点P关于x轴对称的点的坐标是(3,2n)，则

Ｂ．(2，1)

Ｄ．(31)，

图1

m____,n_____；

题型五：根据到坐标轴的距离求坐标

例1：过点A（2，-3）且垂直于y轴的直线交y轴于点B，则点B坐标为

（ ）．

A、（0，2） B、（2，0） C、（0，-3） D、（-3，0）

例2：已知点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则M点的坐标为（ ）．

A、（3，2） B、（-3，-2） C、（3，-2） D、（2，3），（2，-3），（-2，3），（-2，-3）

例3：若点P（a，b）到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则这样的点P有

（ ）

Ａ、１个

Ｂ、２个

Ｃ、３个

Ｄ、４个

习题演练：

1、点P位于x轴下方，y轴左侧，距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度，那么点P的坐标是

（ ）

A、（4，2） B、（－2，－4） C、（－4，－2） D、（2，4）

2、点E（a,b）到x轴的距离是4，到y轴距离是3，则有

（ ）

A、a=3, b=4 B、a=±3,b=±4 C、a=4, b=3 D、a=±4,b=±3 3、已知点P的坐标为（2 – a，3a + 6），且点P到两坐标轴的距离相等，则点P坐标是 ( ) A、（3，3) B、(3，—3) C、(6，一6) D、(3，3)或(6，一6) 题型六：根据图形的其他顶点坐标求点坐标

例1：在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（0，0），（0，-5），（-2，-2），•以这三点为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点不可能在第_______象限．

习题演练：

1、一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（–1,–1）、（–1，2）、（3,–1），则第四个顶点的坐标为（ ） A、（2，2） B、（3，2） C、（3，3） D、（2，3）

题型七：根据点的坐标求图形的面积

例1：已知点A（-2，0）B（4，0）C（-2，-3）。（1）求A、B两点之间的距离。（2）求点C到X轴的距离。（3）求△ABC的面积。

习题演练：

1、在坐标系中，已知A（2，0），B（－3，－4），C（0，0），则△ABC的面积为（

）

A、4

B、6

C、8

D、3 题型八：

求平移后的坐标

例1：已知三角形的三个顶点坐标分别是（－1，4）、（1，1）、（－4，－1），现将这三个点先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标是（ ）

A、（－2，2），（3，4），（1，7） B、（－2，2），（4，3），（1，7）

C、（2，2），（3，4），（1，7） D、（2，－2），（3，3），（1，7）

例2：线段CD是由线段AB平移得到的.点A（–1，4）的对应点为C（4，7），则点B（– 4，– 1）的对应点D的坐标为（

）

A、（2，9）

B、（5，3）

C、（1，2）

D、（– 9，– 4）

习题演练：

2，将它先向左平移4个单位，再向上平移3个单位后得到点1、已知点M3，，则点的坐标是

．

题型九：图形变换后点的坐标

【例4】将点P(2，2)沿x轴的正方向平移4个单位得到点P的坐标是（

）

Ａ．(2，6)

Ｂ．(6，2)

Ｃ．(2，2)

Ｄ．(2，2)

【例5】如图2，将△AOB绕点O逆时针旋转90，

得到△AOB．若点A的坐标为(a，b)，

则点A的坐标为

．

AyBAa，b

O

B

x

图2

例1：如图4所示，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2006次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2006的位置，则P2006的横坐标x2006=_______．

图1 图2

例2：已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图8所示，将△ABC向右平移6个单位，则平移后A的坐标是（

）

A．（－2，1）

B．（2，1）

C．（2，－1）

D．（－2，－1）

题型十：寻点构造等腰三角形

例1：在平面直角坐标系中，O是坐标原点，已知A点的坐标为（1，1），请你在坐标轴上找出点B，使△AOB为等腰三角形，则符合条件的点B共有（

）

A．6个

B．7个

C．8个

D．9个

题型十一、平面直角坐标系下的作图问题

1)．

【例8】如图6，网络中每个小正方形的边长为1，点C的坐标为(0，

Ａ

Ｂ

Ｃ

图6

（1）画出直角坐标系（要求标出x轴，y轴和原点）并写出点A的坐标；

（2）以△ABC为基本图形，利用轴对称或旋转或平移设计一个图案，说明你的创意．